隐马尔可夫模型

下边的图示强调了HMM的状态变迁。有时，明确的表示出模型的演化也是有用的，我们用 x(t₁) 与 x(t₂) 来表达不同时刻 t₁ 和 t₂ 的状态。

图中箭头方向则表示不同信息间的关系性，因此可以得知${\displaystyle x(t)}$ 和${\displaystyle x(t-1)}$ 有关，而${\displaystyle x(t-1)}$ 又和${\displaystyle x(t-2)}$ 有关。

而每个${\displaystyle y(t)}$ 只和${\displaystyle x(t)}$ 有关，其中${\displaystyle x(t)}$ 我们称为隐藏变量（hidden variable），是观察者无法得知的变量。

隐性马尔可夫模型常被用来解决有未知条件的数学问题。

假设隐藏状态的值对应到的空间有${\displaystyle N}$ 个元素，也就是说在时间${\displaystyle t}$ 时，隐藏状态会有${\displaystyle N}$ 种可能。

同样的，${\displaystyle t+1}$ 也会有${\displaystyle N}$ 种可能的值，所以从${\displaystyle t}$ 到${\displaystyle t+1}$ 间的关系会有${\displaystyle N^{2}}$ 种可能。

除了${\displaystyle x(t)}$ 间的关系外，每组${\displaystyle x(t),y(t)}$ 间也有对应的关系。

若观察到的${\displaystyle y(t)}$ 有${\displaystyle M}$ 种可能的值，则从${\displaystyle x(t)}$ 到${\displaystyle y(t)}$ 的输出模型复杂度为${\displaystyle O(NM)}$ 。如果${\displaystyle y(t)}$ 是一个${\displaystyle M}$ 维的向量，则从${\displaystyle x(t)}$ 到${\displaystyle y(t)}$ 的输出模型复杂度为${\displaystyle O(NM^{2})}$ 。

在这个图中,每一个时间块（x(t), y(t)）都可以向前或向后延伸。通常，时间的起点被设置为t=0 或 t=1.

假设观察到的结果为${\displaystyle Y}$ 

${\displaystyle Y=y(0),y(1),...,y(L-1)}$ 

隐藏条件为${\displaystyle X}$ 

${\displaystyle X=x(0),x(1),...,x(L-1)}$ 

长度为${\displaystyle L}$ ，则马尔可夫模型的概率可以表达为：

${\displaystyle P(Y)=\sum _{X}P(Y\mid X)P(X)\,}$ 

由这个概率模型来看，可以得知马尔可夫模型将该时间点前后的信息都纳入考量。

HMM有三个典型(canonical)问题:

• 预测(filter)：已知模型参数和某一特定输出序列，求最后时刻各个隐含状态的概率分布，即求 ${\displaystyle P(x(t)\ |\ y(1),\dots ,y(t))}$ 。通常使用前向算法解决。
• 平滑(smoothing)：已知模型参数和某一特定输出序列，求中间时刻各个隐含状态的概率分布，即求 ${\displaystyle P(x(k)\ |\ y(1),\dots ,y(t)),k<t}$ 。通常使用前向-后向算法解决。
• 解码(most likely explanation)：已知模型参数，寻找最可能的能产生某一特定输出序列的隐含状态的序列，即求 ${\displaystyle P([x(1)\dots x(t)]|[y(1)\dots ,y(t)])}$ 。通常使用Viterbi算法解决。

此外，已知输出序列，寻找最可能的状态转移以及输出概率.通常使用Baum-Welch算法以及Viterbi algorithm（英语：Viterbi algorithm）解决。另外,最近的一些方法使用联结树算法（英语：Junction tree algorithm）来解决这三个问题。 ^{[来源请求]}

具体实例

假设你有一个住得很远的朋友，他每天跟你打电话告诉你他那天做了什么。你的朋友仅仅对三种活动感兴趣：公园散步，购物以及清理房间。他选择做什么事情只凭天气。你对于他所住的地方的天气情况并不了解，但是你知道总的趋势。在他告诉你每天所做的事情基础上，你想要猜测他所在地的天气情况。

你认为天气的运行就像一个马尔可夫链。其有两个状态“雨”和“晴”，但是你无法直接观察它们，也就是说，它们对于你是隐藏的。每天，你的朋友有一定的概率进行下列活动：“散步”、“购物”、“清理”。因为你朋友告诉你他的活动，所以这些活动就是你的观察数据。这整个系统就是一个隐马尔可夫模型（HMM）。

你知道这个地区的总的天气趋势，并且平时知道你朋友会做的事情。也就是说这个隐马尔可夫模型的参数是已知的。你可以用程序语言（Python）写下来：

 states = ('Rainy', 'Sunny')
 
 observations = ('walk', 'shop', 'clean')
 
 start_probability = {'Rainy': 0.6, 'Sunny': 0.4}
 
 transition_probability = {
    'Rainy' : {'Rainy': 0.7, 'Sunny': 0.3},
    'Sunny' : {'Rainy': 0.4, 'Sunny': 0.6},
    }
 
 emission_probability = {
    'Rainy' : {'walk': 0.1, 'shop': 0.4, 'clean': 0.5},
    'Sunny' : {'walk': 0.6, 'shop': 0.3, 'clean': 0.1},
    }

在这些代码中,start_probability代表了你对于你朋友第一次给你打电话时的天气情况的不确定性（你知道的只是那个地方平均起来下雨多些）。在这里，这个特定的概率分布并非平衡的，平衡概率应该接近（在给定变迁概率的情况下）{'Rainy': 0.571, 'Sunny': 0.429}。 transition_probability 表示基于马尔可夫链模型的天气变迁，在这个例子中，如果今天下雨，那么明天天晴的概率只有30%。代码emission_probability 表示了你朋友每天做某件事的概率。如果下雨，有50% 的概率他在清理房间；如果天晴，则有60%的概率他在外头散步。

这个例子在维特比算法页上有更多的解释。

隐马尔可夫模型的应用

• 语音识别、中文断词/分词或光学字符识别
• 机器翻译
• 生物信息学 和 基因组学
  • 基因组序列中蛋白质编码区域的预测
  • 对于相互关联的DNA或蛋白质族的建模
  • 从基本结构中预测第二结构元素
  • 通信中的译码过程
  • 地图匹配算法
• 还有更多...

隐马尔可夫模型在语音处理上的应用

因为马尔可夫模型有下列特色：

• 时间点${\displaystyle t}$ 的隐藏条件和时间点${\displaystyle t-1}$ 的隐藏条件有关。因为人类语音拥有前后的关系，可以从语义与发音两点来看：

1. 单字的发音拥有前后关系：例如"They are"常常发音成"They're"，或是"Did you"会因为"you"的发音受"did"的影响，常常发音成"did ju"，而且语音识别中用句子的发音来进行分析，因此需要考虑到每个音节的前后关系，才能够有较高的准确率。
2. 句子中的单字有前后关系：从英文文法来看，主词后面常常接助动词或是动词，动词后面接的会是受词或介系词。而或是从单一单字的使用方法来看，对应的动词会有固定使用的介系词或对应名词。因此分析语音频息时需要为了提升每个单字的准确率，也需要分析前后的单字。

• 马尔可夫模型将输入消息视为一单位一单位，接着进行分析，与人类语音模型的特性相似。语音系统识别的单位为一个单位时间内的声音。利用梅尔倒频谱等语音处理方法，变换成一个发音单位，为离散型的信息。而马尔可夫模型使用的隐藏条件也是一个个被数据包的${\displaystyle x(t)}$ ，因此使用马尔可夫模型来处理声音频号比较合适。

隐马尔可夫模型最初是在20世纪60年代后半期Leonard E. Baum和其它一些作者在一系列的统计学论文中描述的。HMM最初的应用之一是开始于20世纪70年代中期的语音识别。^[1]

在1980年代后半期，HMM开始应用到生物序列尤其是DNA的分析中。此后，在生物信息学领域HMM逐渐成为一项不可或缺的技术。^[2]

• 安德雷·马尔可夫
• 贝叶斯推断
• 估计理论
• 条件随机域
• 排队理论
• 马尔可夫决策过程