中心矩

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在概率论或者统计学中，中心矩（Central Moment，或称中央矩，其中矩亦被称作动差）是关于某一个随机变量平均值构成随机变量的概率分布的矩。中心矩可以反应概率分布的特征，由于高阶中心矩仅与分布的分布和形状有关，而不与分布的位置有关，所以相比原点矩使用更广泛。

定义

对于一维随机变量 $X$ ，其 $k$ 阶中心矩 $\mu _{k}$ 为相对于 $X$ 之期望值的 $k$ 阶矩：

\mu _{k}=\mathrm {E} [(X-\mathrm {E} [X])^{k}]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)dx

前几阶中心矩具有较直观的意义。

第0阶中心矩 $\mu _{0}$ 恒为1。
第1阶中心矩 $\mu _{1}$ 恒为0。
第2阶中心矩 $\mu _{2}$ 为 $X$ 的方差 $\operatorname {Var} (X)$ 。
第3阶中心矩 $\mu _{3}$ 用于定义 $X$ 的偏度。
第4阶中心矩 $\mu _{4}$ 用于定义 $X$ 的峰度。

性质

中心矩具有平移不变性。对于任意的随机变量 $X$ 和任意常数 $c$ ，恒有：

\mu _{n}(X+c)=\mu _{n}(X)

n阶中心矩是n次齐次函数。

\mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X)

只有当 $n\in \{1,2,3\}$ ，且 $X$ 和 $Y$ 为两个互相独立的随机变量时，中心矩才具有加法性。

\mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)

另一个与中心矩类似，但在 $n\geq 4$ 时仍保有加法性的统计量为n阶累积量 $\kappa _{n}$ 。