巴恩斯积分

巴恩斯积分（英语：Barnes integral），由英国数学家欧内斯特·巴恩斯（英语：Ernest Barnes）所推导而得，涉及Γ函数乘积的周回（日语：周回積分）积分运算，研究复分析的工具，因芬兰数学家亚尔马·梅林的部分贡献，又称“梅林－巴恩斯积分”，与广义超几何函数高度相关。

Barnes Integral 3D

Barnes Integral density plot

定义如下：^[1]

B(\sigma ,\mu )={\frac {\Gamma (\sigma /2+1)*\Gamma (\sigma /2+1)}{2^{\mu +1}*\Gamma (\sigma /2-v/2+\mu /2+1)*\Gamma (\sigma /2+v/2+\mu /2+3/2)}}

超几何函数

已知超几何函数时，巴恩斯积分如下而得^[2]

{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds.

^ Frank Oliver NIST Handbook of Mathematical Functions, p371, Cambridge University Press, 2010
^ （Barnes 1908）

Barnes, E.W. A new development of the theory of the hypergeometric functions. Proc. London Math. Soc. 1908, s2–6: 141–177. JFM 39.0506.01. doi:10.1112/plms/s2-6.1.141.
Barnes, E.W. A transformation of generalised hypergeometric series. Quarterly Journal of Mathematics. 1910, 41: 136–140. JFM 41.0503.01.
Gasper, George; Rahman, Mizan. Basic hypergeometric series. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 96 2nd. Cambridge University Press. 2004. ISBN 978-0-521-83357-8. MR 2128719.