循环连分数

循环连分数是一种可表示为以下形式的连分数：

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k+m-1}+{\cfrac {1}{a_{k+m}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {1}{a_{k+2}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}\,}$

前k+1个部分分母不算，后面的部分分母[a_k+1, a_k+2,…a_k+m]会一直重复出现。例如${\displaystyle {\sqrt {2}}}$即可表示为循环连分数[1,2,2,2,...]。

循环连分数的部分分母{a_i}可以是任何实数或虚数。

1770年，拉格朗日证明一个数字能表示成循环连分数，当且仅当此数为二次无理数^[1]。例如${\displaystyle {\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]}$。