根资料

根资料是一组资料${\displaystyle (X,\Phi ,X^{\vee },\Phi ^{\vee })}$ ，其中：

• ${\displaystyle X,X^{\vee }}$ 是有限秩自由阿贝尔群，其间有一个配对${\displaystyle \langle ,\rangle :X\times X^{\vee }\rightarrow \mathbf {Z} }$ 使两者互为对偶。
• ${\displaystyle \Phi }$ 是${\displaystyle X}$ 的有限子集，${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ 是${\displaystyle X^{\vee }}$ 的有限子集，并存在其间的双射${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{\vee }}$ 。
• 对任意${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ，有${\displaystyle \langle \alpha ,\alpha ^{\vee }\rangle =2}$ 。
• 对任意${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ，根镜射${\displaystyle x\mapsto x-\langle x,\alpha ^{\vee }\rangle \alpha }$ 导出根资料的自同构（换言之：它将${\displaystyle \Phi }$ 一一映至${\displaystyle \Phi }$ ，而在${\displaystyle X^{\vee }}$ 上导出的对偶映射则将${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ 一一映至${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ ）。
• 类似地，对任意${\displaystyle \alpha ^{\vee }\in \Phi ^{\vee }}$ ，余根镜射${\displaystyle u\mapsto u-\langle \alpha ,u\rangle \alpha ^{\vee }}$ 导出根资料的自同构。

${\displaystyle \Phi }$ 的元素称作该根资料的根，${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ 的元素称为余根。

若${\displaystyle \Phi }$ 不包含任意根的两倍，则称此根资料为既约的。

设${\displaystyle X_{0}:=(\Phi ^{\vee })^{\perp }}$ 。若${\displaystyle X_{0}=\{0\}}$ ，称此根资料为半单的，

对于根资料${\displaystyle (X,\Phi ,X^{\vee },\Phi ^{\vee })}$ ，取${\displaystyle Q}$ 为${\displaystyle \Phi }$ 在${\displaystyle X}$ 中生成的子群，并设${\displaystyle V:=Q\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ ；利用对偶性，同样可定义${\displaystyle V^{\vee }}$ 。可证明${\displaystyle X_{0}\cap Q=\{0\}}$ ，${\displaystyle X_{0}+Q}$ 在${\displaystyle X}$ 中的指数为有限的；因此${\displaystyle V^{\vee }}$ 可视为${\displaystyle V}$ 的对偶空间。可证明${\displaystyle (V,\Phi )}$ 成为一个根系。

设${\displaystyle G}$ 是域${\displaystyle K}$ 上的约化代数群，并具有在${\displaystyle K}$ 上分裂的极大环面${\displaystyle T}$ 。定义相应的根资料${\displaystyle \Phi (T,B)=(X,\Delta ,X_{*},\Delta ^{\vee })}$ 为

• ${\displaystyle X^{*}:=\mathrm {Hom} (T,\mathbb {G} _{m})}$ （极大环面的特征标）
• ${\displaystyle X_{*}:=\mathrm {Hom} (\mathbb {G} _{m},T)}$ （极大环面的余特征标，或者说是其中的单参数子群）
• ${\displaystyle \Delta }$ 是资料${\displaystyle (G,T)}$ 的根。
• ${\displaystyle \Delta ^{\vee }}$ 是相应的余根。

代数封闭域上的连通、约化代数群由其根资料决定。反之，给定任一组根资料，存在与之匹配的连通、约化代数群。根资料比根系及丹金图精确，因为它不仅刻划了群的李代数结构，还刻划了群的中心。

给定任一根资料${\displaystyle (X,\Psi ,X^{\vee },\Psi ^{\vee })}$ ，借着将${\displaystyle X,X^{\vee }}$ 对换，将${\displaystyle \Psi ,\Psi ^{\vee }}$ 对换，可以得到新的根资料，称为其对偶。

若${\displaystyle G}$ 是代数封闭域${\displaystyle K}$ 上的连通、约化代数群，则根资料的对偶决定了复数域 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 上唯一的连通、约化、分裂代数群^LG，称为${\displaystyle G}$ 的郎兰兹对偶群。

• M. Demazure, Exp. XXI in SGA 3 vol 3 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• T. A. Springer, Reductive groups （页面存档备份，存于互联网档案馆），in Automorphic forms, representations, and L-functions vol 1 （页面存档备份，存于互联网档案馆） ISBN 0-8218-3347-2