中山引理

它的众多等价陈述之一如下：

引理（中山正）。设${\displaystyle R}$ 为含单位元的交换环，${\displaystyle I}$ 为一理想，${\displaystyle M}$ 为有限生成${\displaystyle R}$ -模。若${\displaystyle IM=M}$ ，则存在${\displaystyle r\in R}$ 满足${\displaystyle r\equiv 1{\pmod {I}}}$ 且${\displaystyle rM=0}$ 。

推论一。在上述条件下，若${\displaystyle I}$ 包含于${\displaystyle R}$ 的Jacobson根，则必然有${\displaystyle M=0}$ 。

推论二. 若${\displaystyle N}$ 是${\displaystyle M}$ 的子模，且存在有限生成的${\displaystyle M}$ 的子模${\displaystyle N'}$ 及包含于${\displaystyle R}$ 的Jacobson根的理想${\displaystyle I}$ ，使得${\displaystyle M=N+IN'}$ ，则${\displaystyle M=N}$ 。

• Atiyah, M.F. and Macdonald, I.G（1969）. Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading, MA.
• Matsumura H., Commutative Algebra, 2nd ed. Benjamin/Cummings, 1980.