子环

设(R,+,·)为环，S是R的一个非空子集。(S,+,·)是(R,+,·)的子环，当且仅当：^[1]

1. R的零元也在S里
2. ∀a,b∈S, a+b∈S
3. ∀a∈S, -a∈S
4. ∀a,b∈S, ab∈S

或等价地：

1. ∀a,b∈S, a-b∈S
2. ∀a,b∈S, ab∈S

也就是说：

1. S和+构成一个群
2. ∀a,b∈S, ab∈S

如果要求环还包含乘法单位元，那么就要在上述条件加上1∈S这一条。