素点

素点,也叫,英文单词为Place(s)

十九世纪的数学家确定了代数数复数一种类型[来源请求] ,这使在1897年亨泽尔发现P-adic数。一个数域所有的各种可能的嵌入都正好可对应该次嵌入拓扑完备化。一个数域F上的素点本质是F一个绝对赋值的等价类,用来度量F元素的大小。两个这样的绝对赋值都认为是等价的:如果一些元素的大小在一种度量下一样大小(或逼近)。在一般情况下,他们可分为三类,首先平凡绝对赋值| |0, 数域F中零元素的平凡绝对赋值总为0,所有非零元素的平凡绝对赋值总为1。第二类和第三类是阿基米德绝对赋值(阿基米德素点)和非阿基米德绝对赋值(非阿基米德素点)(或超度量),在一个素点完备F后,出现两种情况,一个柯西序列,一个空序列,也就是序列xn)nN such that |xn,当n趋于无穷,可以证明这又是一个域,在给定素点的F的完备域

例如F= 有理数域Q时,会发生以下的非平凡赋值奥斯特洛夫斯基定理):域Q的绝对赋值为通常绝对值,这产生了完备的实数R拓扑域。另一方面,对于任何素数p, 如下定义产生p进数域:

|q|p = pn, q = pn a/bqab都不整除p.

R通常的绝对值和p进数域Qp数不同,当q 乘以p的升高逐渐变小,完全相反R通常的绝对值。

参考文献

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  • Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
  • Narkiewicz, Władysław, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics 3, Berlin: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267 
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  • Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995