HOMFLY多项式

在纽结理论中，HOMFLY多项式或HOMFLY-PT多项式是一种双变元的纽结多项式；透过变元代换，它可以涵括琼斯多项式与亚历山大多项式在三维的情形。

“HOMFLY”一名得自该多项式的发现者：Hoste、Ocneanu、Millett、Freyd、Lickorish、Yetter；“PT”二字旨在纪念另两位独立发现此结不变量的数学家 Przytycki 与 Traczyk。

拆接关系

HOMFLY多项式 $P_{K}(\ell ,m)=P(K)$

P(\mathrm {unknot} )=1,\,

\ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,

其中unknot是平凡纽结； $L_{+},L_{-},L_{0}$ 代表结图表在某个交点附近的性状，如次图所示：

上述关系可用以递回计算任一纽结之HOMFLY多项式，亦可导出

P(L_{1}\sqcup L_{2})={\frac {-(l+l^{-1})}{m}}P(L_{1})*P(L_{2})

透过适当的变元代换，上节的拆接关系可换为

\alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0})

xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0

V(t)=P(\alpha =t,z=t^{1/2}-t^{-1/2})

\Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2})

对镜像与连通和的关系：

P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,

P_{K}(\ell ,m)=P_{\mathrm {MirrorImage(K)} }(\ell ^{-1},m)

SU(N)规范群的三维陈-西蒙斯理论给予HOMFLY多项式。^[1]

^ Witten, Edward. Quantum field theory and the Jones polynomial. Communications in Mathematical Physics. 1989-09, 121 (3): 351–399. ISSN 0010-3616. doi:10.1007/BF01217730 （英语）.