格尔斯滕哈伯代数

格尔斯滕哈伯代数是Gerstenhaber在研究结合代数的形变时发现的。一个结合代数的形变跟它的Hochschild上复形有密切的关系，Gerstenhaber证明，Hochschild上复形实际上形成一个微分分次李代数，并且这个微分分次李代数完全控制了该结合代数的形变。Gerstenhaber的研究受到小平邦彦（Kodaira）-Spencer关于流形复结构形变研究的启发，这些思想后来由Deligne和Kontsevich等人加以系统完成。

在下面后4个例子中，例2和例3是1990年代之前发现的，1993年，Deligne在给一些数学家的通信中猜测它们之间也许是有关系的，用数学语言表述，即：对任何一个结合代数，其Hochschild上复形是little disks operad的链(chain) operad上的代数。这就是著名的Deligne猜想，最后由Kontsevich-Soibelman[1]，McClure-Smith[2]，Tamarkin[3]和Voronov[4]等人解决。Deligne猜想的证明涉及到了很多高深的数学工具，而这些工具都与拓扑共形场论有着密切的联系，因而引起了很多人的兴趣。

稍后，在1997年，Chas和Sullivan的研究论文发表了名为弦拓扑的论文[5]，发现了例5。他们的研究结果引起了数学家们很大的关注和进一步的研究，从而开辟了一门崭新的学科。

最后，需要补充的是，关于Gerstenhaber代数的研究往往伴随着Batalin-Vilkovisky代数（简称BV代数）的研究。BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数，往往由Gerstenhaber代数里面的某种对称性而得到，如[6][5]。

定义

设   是数域   上的一个分次向量空间。  上的一个格尔斯滕哈伯代数结构是三元组  ，满足以下关系：

  1.   是  上的分次、交换、结合的代数；
  2.  是李括号次数为 -1 的分次李代数；
  3. 李括号对其两个变元都是乘积   的导子，即对任给  ，
 

有些文献也把格尔斯滕哈伯代数称为辫代数（braid algebra）。

例子

下面是一些Gerstenhaber代数的例子，因为构造都比较复杂，因此只列出结果，有兴趣的读者可以参考所给文献资料：

  1. 设 是一个李代数，记 为其所对应的链复形，则在其上有一个自然的Gerstenhaber代数结构，乘法由外积给出，李括号为从 上诱导的李括号给出（这是一个比较平凡的例子，因此一般人并不重点讨论，但它在构造Gerstenhaber代数的同伦论中非常重要）；
  2. 设 是数域 上的结合代数，Gerstenhaber证明： 的霍赫希尔德上同调形成一个Gerstenhaber代数[7]；
  3. 记 为little disks operad，Cohen证明： 的同调群形成一个Gerstenhaber代数[8]；
  4. Lian和Zuckerman证明了，在弦理论的背景（background，指从弦理论里面抽象出来的代数结构）中，存在一个Gerstenhaber代数结构[6]；
  5. 设 是一个紧致光滑的流形， 是它的自由环路空间（free loop space）。Chas和Sullivan证明： 的同调群形成一个Gerstenhaber代数[5]。


参见

  • Batalin-Vilkovisky代数
  • 弦拓扑

参考资料

  1. ^ Kontsevich, M. and Soibelman, Y., Deformations of algebras over operads and the Deligne conjecture. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. I (Dijon), 255-307, Math. Phys. Stud., 21, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
  2. ^ McClure, J.E. and Smith, J.H., A solution of Deligne's Hochschild cohomology conjecture. Recent progress in homotopy theory (Baltimore, MD, 2000), 153-193, Contemp. Math., 293, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.
  3. ^ Tamarkin, D., Formality of chain operad of small squares, arxiv: math.QA/9809164
  4. ^ Voronov, A.A., Homotopy Gerstenhaber algebras. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. II (Dijon), 307-331, Math. Phys. Stud., 22, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Chas, M. and Sullivan, D., String topology, arXiv: math-GT/9911159.
  6. ^ 6.0 6.1 Lian, B.H., Zuckerman, G.J., New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.
  7. ^ Gerstenhaber, M., The cohomology structure of an associative ring. Ann. of Math. (2) 78, 1963, 267-288.
  8. ^ Cohen, F.R., The homology of  -spaces, , in The homology of iterated loop spaces, Lecture Notes in Math., vol. 533, Springer-Verlag, 1976, 207-351.