卡茨-穆迪代数

假定以下材料：

• ${\displaystyle C=(c_{ij})}$  ——一个r阶广义嘉当矩阵(generalised Cartan matrix) ${\displaystyle C=(c_{ij})}$  r.
• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$  ———— 一个 2n − r维复向量空间 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ .
• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$  ———— ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 的对偶空间
• ${\displaystyle \alpha _{i}\ }$  ————${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$  中 n 枚相互独立的元，称为对偶根(co-root)
• ${\displaystyle \alpha _{i}^{*}}$  ————${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$  中n 枚线性相互独立的元 ,称为根(root)
• 上述各元满足 ${\displaystyle \alpha _{i}^{*}(\alpha _{j})=c_{ij}}$ .

卡茨-穆迪代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  由符号 ${\displaystyle e_{i}}$  , ${\displaystyle f_{i}}$  (i=1,..,n) 及空间${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$  生成：

以上各元满足以下关系：

• ${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=\alpha _{i}.\ }$ 
• ${\displaystyle [e_{i},f_{j}]=0\ }$  ；其中 ${\displaystyle i\neq j.}$ 
• ${\displaystyle [e_{i},x]=\alpha _{i}^{*}(x)e_{i}}$ , 其中${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}.}$ 
• ${\displaystyle [f_{i},x]=-\alpha _{i}^{*}(x)f_{i}}$ , 其中 ${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}.}$ 
• ${\displaystyle [x,x']=0\ }$  ；其中 ${\displaystyle x,x'\in {\mathfrak {h}}.}$ 
• ${\displaystyle [e_{i},[e_{i},\ldots ,[e_{i},e_{j}]]]={\mathcal {C}}_{e_{i}}^{1-c_{ij}}\;e_{j}=0}$  ;其中${\displaystyle e_{i}.\ }$ 出现 ${\displaystyle 1-c_{ij}\ }$  次;
• ${\displaystyle [f_{i},[f_{i},\ldots ,[f_{i},f_{j}]]]={\mathcal {C}}_{f_{i}}^{1-c_{ij}}\;f_{j}=0}$  ;其中${\displaystyle f_{i}.\ }$ 出现 ${\displaystyle 1-c_{ij}\ }$  次;

(其中 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}\;y=[x,y]}$ .)

一个 实(维数可以无限)李代数亦可称为 Kac–Moody代数，若其 复化 是个 Kac–Moody代数.

• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$  是此卡茨-穆迪代数的一嘉当子代数。
• 若 g 是 Kac–Moody 代数的一元，使得

${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {h}}\,[g,x]=\omega (x)g}$ 

其中 ω 是 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ 的一元，

则称g 为 权(weight) ω的. 我们可分解一Kac–Moody 代数成其幂空间，则嘉当子代数 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 的幂为零，e_i的幂为α*_i，而f_i的幂为−α*_i。若二幂特征向量的李括号非零，则其幂是二幂之和。（若 ${\displaystyle i\neq j}$  ) 则 ${\displaystyle [e_{i},f_{j}]=0\ }$  一条件即指 α*_i 都是简单根。

我们可分解广义嘉当矩阵 C 成矩阵积 DS, 其中 D 是 正对角矩阵, S 是 对称矩阵。 然则有三种可能:

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  有限维 单李代数 (S 正定)
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  是 仿射李代数 (S 正半定)
• 双曲 (S 不定)

S 不可能 负定 或 负半定 因其对角元皆正.

• 外尔-卡茨特征标公式
• 广义卡茨-穆迪代数

• <<Infinite-Dimensional Lie Algebras>>, Victor Kac, Cambridge University Press
• Encyclopaedia of Mathematics, Springer On-line References （页面存档备份，存于互联网档案馆）