柯尼希-费舍尔展开

柯尼希-费舍尔展开(Cornish-Fisher expansion)是一种渐近展开式,用于逼近一个概率分布分位数 [1]。这个展开成立时,它可以比中心极限定理提供更精确的分位数逼近。

每一个Cornish-Fisher展开的成立与否,依赖于其相应的Edgeworth展开的正确性。Cornish-Fisher展开是其对应的Edgeworth展开的逆[2]

这个展开以E. A. Cornish和著名统计学家R. A. 费舍尔命名,他们于1937年发明该方法[3][4]

表达式和系数的计算方法

最简单的定义Cornish-Fisher展开表达式的方式是待定系数法[2]。假设我们有来自某分布   的独立同分布随机变量   ,现在要估计总体的某个泛函   ,假设   是基于样本的一个估计,并且对该估计,成立以下的   阶Edgeworth展开

 

其中    分别是标准正态分布的CDF和PDF,    的多项式,余项表示的是一致误差界,即它是精确分布和逼近分布的   距离。

那么对任何给定的   ,枢轴变量   的下   分位数   可以由下列Cornish-Fisher展开逼近:

 

其中   是标准正态分布的下   分位数,系数   从以下的式子以待定系数法逐个解出

 

例如,解第一个方程时,将   代回到Edgeworth展开里,   的解是(唯一的)能消去   阶项的表达式。

性质

一般来说,Cornish-Fisher展开与它所来自的Edgeworth展开拥有相同的逼近阶数和一致误差项,除非该Edgeworth展开带有跳跃点[2]


参考文献

  1. ^ Cornish, E. A.; Fisher, Ronald A. Moments and Cumulants in the Specification of Distributions (PDF). Revue de l'Institut International de Statistique / Review of the International Statistical Institute. 1938, 5 (4): 307–320 [2020-12-04]. JSTOR 1400905. doi:10.2307/1400905. (原始内容存档 (PDF)于2017-09-21). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Hall, Peter. Inverting an Edgeworth Expansion. The Annals of Statistics. 1983-06, 11 (2): 569–576 [2020-12-04]. ISSN 0090-5364. doi:10.1214/aos/1176346162. (原始内容存档于2018-06-01) (英语). 
  3. ^ Cornish, E. A.; Fisher, Ronald A. Moments and Cumulants in the Specification of Distributions (PDF). Revue de l'Institut International de Statistique / Review of the International Statistical Institute. 1938, 5 (4): 307–320 [2020-12-04]. JSTOR 1400905. doi:10.2307/1400905. (原始内容存档 (PDF)于2017-09-21). 
  4. ^ Fisher, Sir Ronald A.; Cornish, E. A. The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants. Technometrics. 1960-05-01, 2 (2): 209–225 [2020-12-04]. ISSN 0040-1706. doi:10.1080/00401706.1960.10489895. (原始内容存档于2021-10-17).