对位证明法

对位证明法[1](英语:proof by contrapositive,又或者proof by negation),或称否定证明法逆否命题法[2],是逻辑数学的其中一个证明方法。其与反证法相似,但是是不同的概念。根据逻辑,“”等于“”,即取其逆否命题[3]

需要注意,对位证明法与反证法不同。

定义

给予给予初始实质条件命题“若P,则Q”: ,对位证明法证明其逻辑等价的逆否命题“若非Q,则非P”: 的真值。

逻辑上,对立证明法的可用性可以以比较逆否命题和原命题的真值表证明,即证明  的真值完全一样:

           
T T F F T T
T F F T F F
F T T F T T
F F T T T T

例子

  • “我的妈妈是女人。”需要证明的逆否命题是“不是女人就不是我的妈妈。”
  • “若 是单数,则 是双数。”需要证明的逆否命题是“若 不是双数,则 不是单数。”

反证法与对立证明的分别

反证法:假设   正确, ,发现   不对,于是证明   正确。

否定证明:证明   正确,于是转换证明   正确。

证明例子

证明“假设   是双数,则  都会是双数。”

证明:

逆否命题:“假设   不是双数,则   也不是双数。”

换句话讲,即系“假设   是单数,则   也是单数。”

因为   是单数,所以   是整数。

 

因为   是整数,所以   是单数。

集合论例子

如果   都是set),而他们符合   。证明如果  ,则  

证明

如果用直接证明,会很麻烦。但是,如果利用对立证明,即假设  则会简单得多。

因为  ,而  ,所以  

这样   一定成立。

更多例子

以下命题都可以用对立证明证真:

  • 假设   都是自然数。如果  单数,则    都是单数。
  • 假设   都是实数。如果  无理数,则   或者   是无理数。

参见

参考

  1. ^ 【学习笔记】离散数学(Discrete Math) - 证明 Proof 3. blog.csdn.net. [2021-11-18]. (原始内容存档于2021-11-18). 
  2. ^ 反證法與逆否命題法. 线代启示录. 2016-03-17 [2021-11-18]. (原始内容存档于2021-11-18) (英语). 
  3. ^ Mariotti, M. A. (2006). Proof and proving in mathematics education. Handbook of research on the psychology of mathematics education: Past, present and future, 173-204