对位证明法

给予给予初始实质条件命题“若P，则Q”：${\displaystyle A\to B}$ ，对位证明法证明其逻辑等价的逆否命题“若非Q，则非P”：${\displaystyle \neg B\to \neg A}$ 的真值。

逻辑上，对立证明法的可用性可以以比较逆否命题和原命题的真值表证明，即证明${\displaystyle A\to B}$ 和${\displaystyle \neg B\to \neg A}$ 的真值完全一样：

例子

• “我的妈妈是女人。”需要证明的逆否命题是“不是女人就不是我的妈妈。”
• “若${\displaystyle x}$ 是单数，则${\displaystyle x+1}$ 是双数。”需要证明的逆否命题是“若${\displaystyle x+1}$ 不是双数，则${\displaystyle x}$ 不是单数。”

反证法：假设 ${\displaystyle \neg A}$  正确，${\displaystyle \neg A\to B}$ ，发现 ${\displaystyle B}$  不对，于是证明 ${\displaystyle A}$  正确。

否定证明：证明 ${\displaystyle A\to B}$  正确，于是转换证明 ${\displaystyle \neg B\to \neg A}$  正确。

证明“假设 ${\displaystyle x^{2}}$  是双数，则${\displaystyle x}$  都会是双数。”

证明：

逆否命题：“假设 ${\displaystyle x}$  不是双数，则 ${\displaystyle x^{2}}$  也不是双数。”

换句话讲，即系“假设 ${\displaystyle x}$  是单数，则 ${\displaystyle x^{2}}$  也是单数。”

因为 ${\displaystyle x}$  是单数，所以 ${\displaystyle x=2k+1,k\in \mathbb {Z} }$  的${\displaystyle k}$ 是整数。

${\displaystyle x^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+2k+1=2(2k^{2}+k)+1}$ 

因为 ${\displaystyle 2k^{2}+k}$  是整数，所以 ${\displaystyle x^{2}}$  是单数。

如果 ${\displaystyle A,B,C,D}$  都是集（set），而他们符合 ${\displaystyle C\backslash D\subset A\cap B}$  和 ${\displaystyle x\in C}$ 。证明如果 ${\displaystyle x\notin A}$ ，则 ${\displaystyle x\in D}$ 。

证明：

如果用直接证明，会很麻烦。但是，如果利用对立证明，即假设 ${\displaystyle x\notin D}$ 则会简单得多。

因为 ${\displaystyle x\in C}$ ，而 ${\displaystyle C\backslash D\subset A\cap B}$ ，所以 ${\displaystyle x\in A\cap B}$ 。

这样 ${\displaystyle x\in A}$  一定成立。

以下命题都可以用对立证明证真：

• 假设 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {N} }$  都是自然数。如果 ${\displaystyle xy}$  是单数，则 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  都是单数。
• 假设 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$  都是实数。如果 ${\displaystyle x+y}$  是无理数，则 ${\displaystyle x}$  或者 ${\displaystyle y}$  是无理数。

• 直接证明
• 穷举法
• 数学归纳法
• 反证法
• 归谬法