模糊集

给定一个论域${\displaystyle U}$  ，那么从${\displaystyle U}$ 到单位区间${\displaystyle [0,1]}$ 的一个映射${\displaystyle \mu _{A}:U\mapsto [0,1]}$ 称为${\displaystyle U}$ 上的一个模糊集，或${\displaystyle U}$ 的一个模糊子集^[1]。

模糊集可以记为${\displaystyle A}$ 。映射（函数）${\displaystyle \mu _{A}(\cdot )}$ 或简记为${\displaystyle A(\cdot )}$ 叫做模糊集${\displaystyle A}$ 的隶属函数。对于每个${\displaystyle x\in U}$ ， ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ 叫做元素${\displaystyle x}$ 对模糊集${\displaystyle A}$ 的隶属度。

模糊集的常用表示法有下述几种：

1. 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
2. Zadeh记法，例如${\displaystyle A={1 \over x_{1}}+{0.5 \over x_{2}}+{0.72 \over x_{3}}+{0 \over x_{4}}}$ 。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。
3. 序偶法，例如${\displaystyle A=\{(x_{1},1),(x_{2},0.5),(x_{3},0.72),(x_{4},0)\}}$ ，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。
4. 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如${\displaystyle A=(1,0.5,0.72,0)}$ 。

和传统的集合一样，模糊集也有它的元素，但可以谈论每个元素属于该模糊集的程度，其从低至高一般用 0 到 1 之间的数来表示。模糊集理论是由卢菲特·泽德（1965）所引进的，是经典集合论的一种推广^[2]。在经典的集合论中，所谓的二分条件规定每个元素只能属于或不属于某个集合（因此模糊集不是集合）；可以说，每个元素对每个集合的归属性（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集则拥有一个归属函数（membership function），其值允许取闭区间${\displaystyle [0,1]}$ （单位区间）中的任何实数，用来表示元素对该集的归属程度。比如设某模糊集${\displaystyle A}$ 的归属函数为${\displaystyle M}$  ，而${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ 为三个元素；如果${\displaystyle M(a)=1}$ ，${\displaystyle M(b)=0}$ ，${\displaystyle M(c)={\frac {1}{2}}}$ ，则可以说 “${\displaystyle a}$ 完全属于${\displaystyle A}$ ”，“${\displaystyle b}$ 完全不属于${\displaystyle A}$ ”，“${\displaystyle c}$ 对${\displaystyle A}$ 的归属度为${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ”（注意没有说“${\displaystyle c}$ 有一半属于${\displaystyle A}$ ”，因为尚未规定${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ 的归属度具有什么特殊含义）。作为特例，当归属函数的值只能取 0 或 1 时，就得到了传统集合论常用的指示函数（indicator function）^[3]。传统集合在模糊集理论中通常称作“明确集”（crisp set）。

截集与截积

设 ${\displaystyle A}$ 为 ${\displaystyle U}$ 上的模糊集（记作 ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}(U)}$ ），任取 ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ ，则

${\displaystyle A_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}}$ ，

称${\displaystyle A_{\lambda }}$ 为${\displaystyle A}$ 的${\displaystyle \lambda }$ 截集，而${\displaystyle \lambda }$ 称为阈值或置信水平。将上式中的${\displaystyle \geq }$ 替换为${\displaystyle >}$ ，记为${\displaystyle A_{S\lambda }}$ ，称为强截集。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然${\displaystyle A_{1}}$ 为${\displaystyle A}$ 的核，即${\displaystyle \ker A}$ ；如果${\displaystyle \ker A\neq \varnothing }$ ，则称${\displaystyle A}$ 为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：

设${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ ，${\displaystyle A\in F(U)}$ ，则${\displaystyle \forall u\in U}$ ，${\displaystyle \lambda }$ 与${\displaystyle A}$ 的截积（或称为${\displaystyle \lambda }$ 截集的数乘，记为${\displaystyle \lambda A}$ ）定义为：

${\displaystyle (\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}}$ 

根据定义，截积仍是${\displaystyle U}$ 上的模糊集合。

分解定理与表现定理

分解定理：

设${\displaystyle A\in F(U)}$ ，则

${\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }}$ 

即任一模糊集${\displaystyle A}$ 都可以表达为一族简单模糊集${\displaystyle \left\{\lambda a_{\lambda }\right\}}$ 的并。也即，一个模糊集可以由其自身份解出的集合套而“拼成”。

表现定理：

设${\displaystyle H}$ 为${\displaystyle U}$ 上的任何一个集合套，则

${\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )}$ 

是${\displaystyle U}$ 上的一个模糊集，且${\displaystyle \forall \lambda \in [0,1]}$ ，有

（1）${\displaystyle A_{S\lambda }=\cup _{\alpha >\lambda }H(\alpha )}$ 

（2）${\displaystyle A_{\lambda }=\cap _{\alpha <\lambda }H(\alpha )}$ 

即任一集合套都能拼成一个模糊集。

一个模糊集${\displaystyle A}$ 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射${\displaystyle D:F(U)\rightarrow [0,1]}$ 满足下述5条性质：

1. 清晰性：${\displaystyle D(A)=0}$ 当且仅当${\displaystyle A\in P(U)}$ 。（经典集的模糊度恒为0。）
2. 模糊性：${\displaystyle D(A)=1}$ 当且仅当${\displaystyle \forall u\in U}$ 有${\displaystyle A(u)=0.5}$ 。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
3. 单调性：${\displaystyle \forall u\in U}$ ，若${\displaystyle A(u)\leq B(u)\leq 0.5}$ ，或者${\displaystyle A(u)\geq B(u)\geq 0.5}$ ，则${\displaystyle D(A)\leq D(B)}$ 。
4. 对称性：${\displaystyle \forall A\in F(U)}$ ，有${\displaystyle D(A^{c})=D(A)}$ 。（补集的模糊度相等。）
5. 可加性：${\displaystyle D(A\cup B)+D(A\cap B)=D(A)+D(B)}$ 。

则称${\displaystyle D}$ 是定义在${\displaystyle F(U)}$ 上的模糊度函数，而${\displaystyle D(A)}$ 为模糊集${\displaystyle A}$ 的模糊度。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的^[4]，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是
${\displaystyle {\begin{aligned}D_{p}(A)&={\frac {2}{n^{1/p}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})\right|^{p}\right)^{1/p}\\D(A)&=\int _{-\infty }^{+\infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}}$ 
其中${\displaystyle p>0}$ 是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当${\displaystyle p=1}$ 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当${\displaystyle p=2}$ 的时候称为 Euclid 模糊度。

模糊测度(Fuzzy measures)

${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 是舆集${\displaystyle \mathrm {X} }$ 的一种。

用${\displaystyle g}$ 函数定义${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ，包含下列3项特性称为模糊测度:

①${\displaystyle g(0)=0,g(\mathrm {X} )=1}$ 

---${\displaystyle g}$ 函数代0值，表示没有值为空值，用数学0来表示。${\displaystyle g}$ 函数代${\displaystyle X}$ 表示舆集全部带进去了塞满了，用1表示塞满。

②若${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {B}}}$ 和${\displaystyle A\subseteq B}$ , 则${\displaystyle g(A)\leq g(B)}$ .

---${\displaystyle A,B}$ 是属于${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 的一部分，${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle B}$ 里面也可能跟${\displaystyle B}$ 一样大，则${\displaystyle g(A)\leq g(B)}$ 

③If ${\displaystyle A_{n}}$ ∈${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ , ${\displaystyle A_{1}}$ ⊆${\displaystyle A_{2}}$ ⊆…,then ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g(A_{n})=g(\lim _{n\to \infty }A_{n})}$ 

---当${\displaystyle A_{n}}$ 属于${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 同时${\displaystyle A_{1}}$ 包含于${\displaystyle A_{2}\subseteq \ldots }$ ，则将${\displaystyle A_{n}}$ 代入${\displaystyle g}$ 函数趋小所得的值等同于先趋小${\displaystyle A_{n}}$ 再代入${\displaystyle g}$ 函数所求得的值。

模糊量测(measures of fuzziness)

各种算子

• Zadeh 算子，${\displaystyle \max }$ 即为并，${\displaystyle \min }$ 即为交

${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}}$ 

• 代数算子（概率和、代数积）

${\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}}$ 

• 有界算子

${\displaystyle {\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}}$ 

• Einstein 算子

${\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}}$ 

• Hamacher 算子，其中${\displaystyle \nu \in [0,+\infty )}$ 是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

${\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}}$ 

• Yager 算子，其中${\displaystyle p}$ 是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

${\displaystyle {\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}}$ 

• ${\displaystyle \lambda -\gamma }$ 算子，其中${\displaystyle \lambda ,\gamma \in [0,1]}$ 是参数

${\displaystyle {\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{1-\gamma }(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}}$ 

• Dobois-Prade 算子，其中${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ 是参数

${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee _{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge _{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}}$ 

算子的性质

参见集合代数和布尔代数。

主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：

线性补偿是指：${\displaystyle (\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))}$ ^[5]

使用度量理论

可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集${\displaystyle F(U)}$ 上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到${\displaystyle [0,1]}$ 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：

${\displaystyle {\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}}$ 

贴近度

另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

• 最大最小贴近度

${\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}}$ 

• 算术平均最小贴近度

${\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}}$ 

• 几何平均最小贴近度

${\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}}$ 

• 指数贴近度

${\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}}$ 

• 粗集合
• 解模糊