模糊集

模糊集模糊数学上的一个基本概念,是数学上普通集合的扩展。

定义

给定一个论域  ,那么从 到单位区间 的一个映射 称为 上的一个模糊集,或 的一个模糊子集[1]

表示

模糊集可以记为 。映射(函数) 或简记为 叫做模糊集 隶属函数。对于每个  叫做元素 对模糊集 隶属度

模糊集的常用表示法有下述几种:

  1. 解析法,也即给出隶属函数的具体表达式。
  2. Zadeh记法,例如 。分母是论域中的元素,分子是该元素对应的隶属度。有时候,若隶属度为0,该项可以忽略不写。
  3. 序偶法,例如 ,序偶对的前者是论域中的元素,后者是该元素对应的隶属度。
  4. 向量法,在有限论域的场合,给论域中元素规定一个表达的顺序,那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式,如 

和传统集合的关系

和传统的集合一样,模糊集也有它的元素,但可以谈论每个元素属于该模糊集的程度,其从低至高一般用 0 到 1 之间的数来表示。模糊集理论是由卢菲特·泽德(1965)所引进的,是经典集合论的一种推广[2]。在经典的集合论中,所谓的二分条件规定每个元素只能属于不属于某个集合(因此模糊集不是集合);可以说,每个元素对每个集合的归属性(membership)都只能是 0 或 1。而每模糊集则拥有一个归属函数(membership function),其值允许取闭区间 单位区间)中的任何实数,用来表示元素对该集的归属程度。比如设某模糊集 的归属函数为  ,而   为三个元素;如果   ,则可以说 “ 完全属于 ”,“ 完全不属于 ”,“  的归属度为 ”(注意没有说“ 有一半属于 ”,因为尚未规定 的归属度具有什么特殊含义)。作为特例,当归属函数的值只能取 0 或 1 时,就得到了传统集合论常用的指示函数(indicator function)[3]。传统集合在模糊集理论中通常称作“明确集”(crisp set)。

截集与截积

  上的模糊集(记作  ),任取  ,则

 

   截集,而 称为阈值或置信水平。将上式中的 替换为 ,记为 ,称为强截集

截集和强截集都是经典集合。此外,显然  ,即 ;如果 ,则称 为正规模糊集,否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积:

  ,则   截积(或称为 截集的数乘,记为 )定义为:

 

根据定义,截积仍是 上的模糊集合。

分解定理与表现定理

分解定理

 ,则

 

即任一模糊集 都可以表达为一族简单模糊集 的并。也即,一个模糊集可以由其自身份解出的集合套而“拼成”。

表现定理

  上的任何一个集合套,则

 

 上的一个模糊集,且 ,有

(1) 

(2) 

即任一集合套都能拼成一个模糊集。

模糊度

一个模糊集 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度,一个直观的定义是这样的:

设映射 满足下述5条性质:

  1. 清晰性: 当且仅当 。(经典集的模糊度恒为0。)
  2. 模糊性: 当且仅当  。(隶属度都为0.5的模糊集最模糊。)
  3. 单调性: ,若 ,或者 ,则 
  4. 对称性: ,有 。(补集的模糊度相等。)
  5. 可加性: 

则称 是定义在 上的模糊度函数,而 为模糊集 模糊度

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的[4],一个常用的公式(分别针对有限和无限论域)就是
 
其中 是参数,称为 Minkowski 模糊度。特别地,当 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标,当 的时候称为 Euclid 模糊度。

模糊测度(Fuzzy measures)

 是舆集 的一种。

 函数定义 ,包含下列3项特性称为模糊测度:

 

--- 函数代0值,表示没有值为空值,用数学0来表示。 函数代 表示舆集全部带进去了塞满了,用1表示塞满。

②若  , 则 .

--- 是属于 的一部分,  里面也可能跟 一样大,则 

③If   ,   ⊆…,then  

---当 属于 同时 包含于 ,则将 代入 函数趋小所得的值等同于先趋小 再代入 函数所求得的值。

模糊量测(measures of fuzziness)

模糊集的运算

各种算子

  • Zadeh 算子, 即为并, 即为交

 

  • 代数算子(概率和、代数积)

 

  • 有界算子

 

  • Einstein 算子

 

  • Hamacher 算子,其中 是参数,等于1时转化为代数算子,等于2时转化为 Einstein 算子

 

  • Yager 算子,其中 是参数,等于1时转化为有界算子,趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

 

  •  算子,其中 是参数

 

  • Dobois-Prade 算子,其中 是参数

 

算子的性质

参见集合代数布尔代数

主要算子的性质对比表如下(.表示不满足,-表示未验证):

算子 结合律 交换律 分配律 互补律 同一律 幂等律 支配律 吸收律 双重否定律 德·摩根律
Zedah .
代数 . . . . -
有界 . . -

线性补偿是指: [5]

算子的并运算 幂等律 排中律 分配律 结合律 线性补偿
Zadeh . .
代数 . . . .
有界 . . .
Hamacher r = 0 . . . .
Yager . . . .
Hamacher . . . .
Dobois-Prade . . . .

模糊集之间的距离

使用度量理论

可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上,我们需要在模糊幂集 上建立一个度量,此外,我们还可能需要将此度量标准化,也即映射到 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离:

 

贴近度

另一种是使用贴近度概念。在某种意义上,贴近度就是 1 - 距离(这里的距离是上述标准化意义上的距离)。而之所以应用这个变换,是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近,贴近的程度显然越“高”,因此它恰为距离的反数。

除了距离外,还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

  • 最大最小贴近度
 
  • 算术平均最小贴近度
 
  • 几何平均最小贴近度
 
  • 指数贴近度
 

参见

参考文献

  1. ^ 要注意,严格地说,模糊集或子集是映射所确定的序对集,但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定,因而我们不区分映射和映射所确定的序对集,而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。
  2. ^ L. A. Zadeh (1965) "Fuzzy sets" 互联网档案馆存档,存档日期2007-11-27.. Information and Control 8 (3) 338–353.
  3. ^ D. Dubois and H. Prade (1988) Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York.
  4. ^ 陈水利等,模糊集理论及其应用,科学出版社,2005年,第20页。
  5. ^ Etienne E. Kerre 等,模糊集理论与近似推理,武汉大学出版社,2004年,第103页。