字度量

考虑整数群${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ 。若取生成集合${\displaystyle S=\{\pm 1\}}$ ，那么两个整数${\displaystyle m,n}$ 之间的字度量是${\displaystyle d_{S}(m,n)=\left|-m+n\right|}$ 。

若取另一个生成集合${\displaystyle S'=\{\pm 2,\pm 3\}}$ ，则${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle m+1}$ 之间的字度量${\displaystyle d_{S'}(m,m+1)=2}$ ，因为${\displaystyle -m+(m+1)}$ 用${\displaystyle S'}$ 所能表示成的最短的字（3-2或-2+3）的长度为2。

从字度量的定义可以看出，群于自身的左乘作用${\displaystyle k\cdot g\mapsto kg}$ 下，字度量不变：

${\displaystyle d_{S}(g,h)=d_{S}(kg,kh)}$ 

（因为${\displaystyle (kg)^{-1}(kh)=g^{-1}h}$ 。）

一个群${\displaystyle G}$ 给出不同的生成集合，对应的字度量可以不同。不过，如果${\displaystyle G}$ 是有限生成的，则两个有限的生成集合${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ 所给出的字度量是双利普希茨的，即存在常数${\displaystyle C>1}$ 使得对任何${\displaystyle g,h\in G}$ 都有

${\displaystyle {\frac {1}{C}}d_{S_{1}}(g,h)\leq d_{S_{2}}(g,h)\leq Cd_{S_{1}}(g,h)}$ 

证明如下：${\displaystyle S_{1}}$ 中的各元素用${\displaystyle S_{2}}$ 表示成的字，其中最长的长度设为${\displaystyle C_{1}}$ 。那么每个用${\displaystyle S_{1}}$ 表示成的字，都可用${\displaystyle S_{2}}$ 改写成不超过${\displaystyle C_{1}}$ 倍的长度的字。故此

${\displaystyle d_{S_{2}}(g,h)\leq C_{1}d_{S_{1}}(g,h)}$ 

同样地，有

${\displaystyle d_{S_{1}}(g,h)\leq C_{2}d_{S_{2}}(g,h)}$ 

取${\displaystyle C}$ 为${\displaystyle C_{1}}$ 和${\displaystyle C_{2}}$ 的较大者，得出不等式。