格林-陶定理

格林-陶定理(英语:Green-Tao theorem)是本·格林英语Ben_Green_(mathematician)陶哲轩于2004年证明的一个关于质数组成的等差数列存在性定理[1]。质数序列包含任意长的等差数列,是格林-陶定理的著名推论。

定理内容

对于任意的素数集合的子集 ,若 相对于素数集合的上密度(英语:upper density)为正,即:

 
其中, 代表不大于 的素数的个数。

那么:

对于任意的正整数  中的元素可以组成任意多个长度为 的等差数列。[1]

推论

格林-陶定理有以下两个直接的推论:

  • 对于任意正整数 ,质数序列中存在任意多长度为 的等差子序列
  • 质数序列中包含有任意长的等差子序列

目前已知的最长质数等差数列

质数序列中长度为 的等差子序列,对于1≤n≤k,目前最好的结果是对于k=26,此等差数列为:

{an=43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 ·(n-1)}

相关定理与猜想

  • 格林-陶定理是塞迈雷迪定理英语Szemerédi's theorem在素数集上的推广。
  • 格林-陶定理是埃尔德什等差数列猜想的一个特例。
  • 更强的猜想是对于任何正整数r,质数序列中都存在任意长度的r阶阶差数列 that is not r−1阶阶差数列(0阶阶差数列是常数数列,1阶阶差数列是等差数列,依此类推),格林-陶定理就是r=1的特例。对于2阶阶差数列,质数序列中长度为 的二阶阶差子序列,对于0≤n≤k−1,目前最好的结果是对于k=45,此数列为36n^2-810n+2753(不管各项的大小顺序,只要序列中没有重复的质数就可以)。

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 Green, Ben; Tao, Terence, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics, 2008, 167 (2): 481–547, arXiv:math.NT/0404188 , doi:10.4007/annals.2008.167.481 .

外部链接