EKG数列

EKG数列是这样定义的：

${\displaystyle a_{1}=1,a_{2}=2,}$ 对于${\displaystyle n\geq 3}$，${\displaystyle a_{n}}$是跟${\displaystyle a_{n-1}}$不互质的正整数之中最小而又未曾出现在数列中的一个。例如3跟2互质，所以不可能是${\displaystyle a_{3}}$，之后的4跟2不互质，所以它便是${\displaystyle a_{3}}$。

它首几项是1, 2, 4, 6, 3, 9, 12, 8, 10, 5, 15, 18, 14, 7, 21 ...（OEIS:A064413）

每个正整数都会在这个数列出现；每个质数都会由小到大顺序出现。

因为这个数列的图从细部看就像心电图一般，所以便以心电图的缩写EKG命名。

关于它的猜想有：

• 若奇质数${\displaystyle p=a_{m}}$，则${\displaystyle a_{m-1}=2p,a_{m+1}=3p}$。
• 当${\displaystyle n\rightarrow \infty }$：
  • 若${\displaystyle a_{n}}$为奇质数，${\displaystyle a_{n}\sim {\frac {1}{2}}n(1+{\frac {1}{3logn}})}$
  • 若${\displaystyle a_{n}}$为奇质数的三倍，${\displaystyle a_{n}\sim {\frac {3}{2}}n(1+{\frac {1}{3logn}})}$
  • 若${\displaystyle a_{n}}$既非质数也非质数的三倍，${\displaystyle a_{n}\sim {\frac {3}{2}}n(1+{\frac {1}{3logn}})}$