朱世杰恒等式

递归方法

欲证

${\displaystyle {\binom {m}{a+1}}+{\binom {m}{a}}+{\binom {m+1}{a}}...+{\binom {n}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}}$ ，

可以反复使用帕斯卡法则合并左式首两项。

组合方法

从${\displaystyle n}$ 元集${\displaystyle S=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}}$ 选${\displaystyle r}$ 个元素，有${\displaystyle {\binom {n}{r}}}$ 种方法。

必有${\displaystyle a_{1}}$ 时，在${\displaystyle n-1}$ 个元素中选${\displaystyle r-1}$ 个元素，排除${\displaystyle a_{1}}$ ，必有${\displaystyle a_{2}}$ 时，在${\displaystyle n-2}$ 个元素中选${\displaystyle r-1}$ 个元素，排除${\displaystyle a_{2}}$ ，如此类推，直到必有${\displaystyle a_{n-r+1}}$ 时，在${\displaystyle r-1}$ 个元素中选${\displaystyle r-1}$ 个元素。

${\displaystyle \sum _{k=r}^{n}{\binom {k-1}{r-1}}={\binom {n}{r}}}$ ^[2]

朱世杰恒等式可应用于等幂求和问题。例如：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}{\binom {i}{1}}={\binom {n+1}{2}}}$ 

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i(i+1)=2\sum _{i=1}^{n}{\binom {i+1}{2}}=2{\binom {n+2}{3}}}$ ^[3]