积分图

积分图是于1984年由富兰克林·克罗引入计算机图形学领域，在20年后用于维奥拉-琼斯目标检测框架。富兰克林在设计积分图时主要是为Mipmap设计，但积分图并没有在计算机图形学领域中被广泛使用，直至在20年后，积分图才因维奥拉-琼斯目标检测框架的使用而开始普遍起来。然而，从历史角度来看，富兰克林对多维度的概率分布函数研究的理念是众所周知的，即透过观察、计算各自的累积分布函数，以计算出二维 （或N维）概率（面积的概率分布）。^[5]

积分图的每一点（x, y）的值是原图中对应位置的左上角区域的所有值得和：^[6][7]

${\displaystyle I(x,y)=\sum _{\begin{smallmatrix}x'\leq x\\y'\leq y\end{smallmatrix}}i(x',y')}$ 

而且，积分图可以只遍历一次图像即可有效的计算出来，因为积分图每一点的（x, y）值是：

${\displaystyle I(x,y)=i(x,y)+I(x-1,y)+I(x,y-1)-I(x-1,y-1)\,}$ 

一旦积分图计算完毕，对任意矩形区域的和的计算就可以在常数时间内完成。如右图中，阴影矩形区域的值：

${\displaystyle \sum _{\begin{smallmatrix}A(x)<x'\leq C(x)\\A(y)<y'\leq C(y)\end{smallmatrix}}i(x',y')=I(C)+I(A)-I(B)-I(D).}$ 

这个方法可以自然的扩展到连续空间^[8]。

这个方法也可以扩展到高维图像中^[9]。如果该矩形的角是${\displaystyle x^{p}}$ ，而${\displaystyle p}$ 是${\displaystyle \{0,1\}^{d}}$ 的话，那么矩形中包含图像的值的总和就能以下列公式计算：

${\displaystyle \sum _{p\in \{0,1\}^{d}}(-1)^{d-\|p\|_{1}}I(x^{p})\,}$ 

其中，${\displaystyle I(x)}$ 是于${\displaystyle x}$ 的积分图，而${\displaystyle d}$ 则是图像尺寸。与表示法${\displaystyle x^{p}}$ 对应的例子有${\displaystyle d=2}$ 、${\displaystyle A=x^{(0,0)}}$ 、${\displaystyle B=x^{(1,0)}}$ 、${\displaystyle C=x^{(1,1)}}$ 和${\displaystyle D=x^{(0,1)}}$ 。以神经影像学作例子，当使用体素或具时间戳记的像素时，神经影像的图像就会具有${\displaystyle d=3}$ 或${\displaystyle d=4}$ 的尺寸。^[10]

关于积分图的讲座视频

• 介绍积分图像的算法背后的入门理论 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 一个示范积分图像算法的连续版本，取自胡弗拉姆示范项目 （页面存档备份，存于互联网档案馆）