西尔维斯特-高洛伊定理

匈牙利语人名顺序为先姓后名。本条目中的译名遵从此顺序。

西尔维斯特–高洛伊定理（Sylvester–Gallai theorem）说明若在平面上有有限数目的点，点的数目多于2，它们不是全部共线，有一条线上刚好有两点，如果过任意两点的直线都必过第三点，则所有的点共线。

这个定理在无限点的情况并不成立，可以考虑格点。

证明

 

以下使用无穷递降法：

  1. 在平面上有有限多点，若它们都共线，那我们就找到想要的东西；若非，定义一条“连线”为一条连起来至少有两点的线。设I为一条连线，因为不是所有点都共线，至少有一点P不属于I。
  2. 若I不是有刚好两点，I便至少有三点，称为A,B,C。不失一般性，设B在A和C之间，因为 ，所以两只角不可能同时是钝角。不失一般性设 不是钝角，而是锐角或直角。
  3. 设连结C和P的线为m，m是不包括B的连线，而且B和m的距离比P和I的距离小。
  4. 以B和m取代第二步的P和I。这个动作不可能无穷次重复，因为若能无穷次重复，连线和某一不在连线上的点距离便会得出一个无穷递降的序列，但只有有限个点和有限条连线，这是不可能的。因此，至少有一条线刚好有两点。

推广

 
Dirac的猜想的反例。

这个定理说明了在所有点至少有一条线有刚好两点。在什么情况下，只有一条线有刚好两点呢？没有的这样的例子。Dirac猜想在平面上若有n点，则有至少有n/2条线有刚好两点。[1]

可惜这个猜想是不对的。但截至2006年，已知有两个反例：

  • 一个等边三角形的三个顶点、各边的中点和三角形中心，共有7点，但只有三条线有刚好两点。
  • 两个大小相等的正五边形，其中一边重叠。取这两个五边形的所有顶点（8点），加上重叠边的中点（1点），再加上取四组平行线上的无限远点（4点）。该四组平行线分别是跟重叠边成0°、90°、+36°和-36°的。在经过这13点的线中，只有6条线有刚好两点。[2]

虽然Dirac的猜想不对，但有较弱的结果：在n点中，至有有 条线刚好有两点通过。[3]

Beck定理则说明了，存在常数C,K，使以下其中一个论述为真：

  • 有一条线有n/C点。
  • 至少有n2/K条线，线上至少有两点。

历史

1893年，詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将此问题提出[4]。艾狄胥·帕尔也曾在1943年独立提出这个定理。[5]1944年高洛伊·蒂博尔（英语：Tibor Gallai）发表了证明[6]。 不过，1940年E. Melchior已证明了。[7]

参考

  1. ^ Dirac, G. Collinearity properties of sets of points. Quart. J. Math. 1951, 2: 221–227. 
  2. ^ Crowe, D. W.; McKee, T. A. Sylvester's problem on collinear points. Mathematics Magazine. 1968, 41 (1): 30–34 [2016-05-02]. （原始内容存档于2016-10-05）. 
  3. ^ Csima, J.; Sawyer, E. There exist 6n/13 ordinary points. Discrete & Computational Geometry. 1993, 9: 187–202. doi:10.1007/BF02189318. 
  4. ^ Sylvester, J. J. Mathematical question 11851. Educational Times. 1893, 59: 98. 
  5. ^ Erdős, P. Problem 4065. American Mathematical Monthly. 1943, 50: 65 [2016-05-02]. （原始内容存档于2019-12-20）. 
  6. ^ Steinberg, R.; Buck, R. C.; Grünwald, T. (Tibor Gallai); Steenrod, N. E. Three point collinearity (solution to problem 4065). American Mathematical Monthly. 1944, 51: 169–171 [2016-05-02]. （原始内容存档于2019-12-10）. 
  7. ^ Melchior, E. Über Vielseite der projektiven Ebene. Deutsche Math. 1940, 5: 461–475.