叉分岔

超临界叉分岔的正则方程为：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx-x^{3}.}$ 

当 ${\displaystyle r<0}$ 时，系统有一个稳定不动点${\displaystyle x=0}$ 。当 ${\displaystyle r>0}$ 时，系统有一个不稳定不动点 ${\displaystyle x=0}$ 及两个稳定不动点${\displaystyle x=\pm {\sqrt {r}}}$ 。

次临界戏分岔的正则方程为：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx+x^{3}.}$ 

当${\displaystyle r<0}$ 时，系统有一个稳定不动点${\displaystyle x=0}$ 及两个不稳定不动点${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-r}}}$ 。当${\displaystyle r>0}$ 时，系统只有一个不稳定不动点${\displaystyle x=0}$ 。

对于一般的微分方程：

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,r)\,}$ 

其中${\displaystyle r}$ 为实参数。若其满足：

${\displaystyle -f(x,r)=f(-x,r)\,\,}$ ,

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,r_{0})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(0,r_{0})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0})\neq 0,\\[12pt]\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}(0,r_{0})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial r\partial x}}(0,r_{0})\neq 0.\end{array}}}$ 

则由该微分方程描述的动力学系统在${\displaystyle (x,r)=(0,r_{0})}$ 处有叉分岔。该叉分岔的类型由其三阶微分的符号确定：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0})<0}$ 时为超临界

${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0})>0}$ 时为次临界

注意，区分超临界叉分岔与次临界叉分岔是根据其分岔图中外围不动点的稳定性确定的(外围不动点为稳定时对应超临界叉分岔，外围不动点为不稳定时对应次临界叉分岔)，而与分岔图中叉分岔曲线的开口方向无关。即对方程${\displaystyle {\dot {x}}=x^{3}-rx}$ 来说，虽然其在分岔图中的曲线形状与上述提到超临界分岔例子的分岔图十分相似，但它为次临界分岔系统。

• Steven Strogatz, Non-linear Dynamics and Chaos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, Perseus Books, 2000.
• S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer-Verlag, 1990.

• 分岔理论
• 分岔图（英语：Bifurcation diagram）