鞍结点分岔

一个典型鞍结点分岔的微分方程的例子如下：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r+x^{2}.}$ 

其中${\displaystyle x}$ 为变量，${\displaystyle r}$ 为分岔参数。

• 当${\displaystyle r<0}$ 时，该系统有两个不动点，其中一个为稳定不动点${\displaystyle -{\sqrt {-r}}}$ ，另一个为不稳定不动点${\displaystyle +{\sqrt {-r}}}$ 。
• 当${\displaystyle r=0}$ 时(分岔临界点)，系统两个不动点将结合，从而只出现一个不动点。此时该不动点称为鞍结点。
• 当${\displaystyle r>0}$ 时，该系统没有任何不动点。

事实上，上述例子即为鞍-结点分岔的正则方程。对于一般的标量微分方程${\displaystyle {\tfrac {dx}{dt}}=f(r,x)}$ ，若其在${\displaystyle r=0}$ 时有不动点${\displaystyle x=0}$ 且同时满足${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=0}$ 时，在满足非简并条件(${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}(0,0)\neq 0}$ )及横向条件(${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial r}}(0,0)\neq 0}$ )时，该微分方程与正则方程局部拓扑等价。

二维系统中一个有鞍结点分岔的动力学系统如下：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\alpha -x^{2}}$ 

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y.}$ 

该系统相空间的性质会随着参数${\displaystyle \alpha }$ 的变化而变化如下：

• 当${\displaystyle \alpha <0}$ 时，系统没有不动点。
• 当${\displaystyle \alpha =0}$ 时，系统有一个鞍结点。
• 当${\displaystyle \alpha >0}$ 时，系统通过鞍结点分岔形成两个不动点，其中一个稳定(稳定结点)，另一个一稳定(鞍点)。

除此之外，鞍结点分岔同样出现在消费者模型、生物学切换网络等系统中。而且近年什至有人指出广义相对论中的爱因斯坦埸方程在某些特定情况下也会出现与鞍结点分岔同样的现象。

• Kuznetsov, Yuri A. Elements of Applied Bifurcation Theory Second. Springer. 1998. ISBN 0-387-98382-1. 
• Strogatz, Steven H. Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison Wesley. 1994. ISBN 0-201-54344-3. 
• 埃里克·韦斯坦因. Fold Bifurcation. MathWorld. 
• Chong, K. H.; Samarasinghe, S.; Kulasiri, D.; Zheng, J. Computational Techniques in Mathematical Modelling of Biological Switches. In Weber, T., McPhee, M.J. and Anderssen, R.S. (eds) MODSIM2015, 21st International Congress on Modelling and Simulation (MODSIM 2015). Modelling and Simulation Society of Australia and New Zealand, December 2015, pp. 578-584. 2015. ISBN 978-0-9872143-5-5. 
• Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C. Einstein Field Equations as a Fold Bifurcation. Journal of Geometry and Physics Volume 123, January 2018, Pages 434-437. 2018.