时钟问题

求解这类型题的关键在于找到时间与角之间的关系。解题中角一般用角度制表示，时间使用十二小时制。求解技巧有列方程、使用追及问题模型等^[2]。

时针在12小时内转过1周（360°），故时针1小时转30°，1分钟转0.5°。分针1小时转360°，故1分钟转6°。由此可以推出以下公式：

当时间为H时M分时，时针与12点钟方向夹角的角度数（${\displaystyle \theta _{\text{hr}}}$ ）为：

${\displaystyle \theta _{\text{hr}}={\frac {1}{2}}(60H+M)}$ 

分针与12点钟方向夹角的角度数（${\displaystyle \theta _{\text{min.}}}$ ）为：

${\displaystyle \theta _{\text{min.}}=6M}$ 

时针与分针之间的夹角为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \theta &=\left|\theta _{\text{hr}}-\theta _{\text{min.}}\right|\\&=\left|{\frac {1}{2}}(60H+M)-6M\right|\\&=\left|{\frac {1}{2}}(60H-11M)\right|\end{aligned}}}$ 

2:00到3:00之间，哪一时刻时针与分针重合？

解：当且仅当${\displaystyle \theta _{\text{hr}}=\theta _{\text{min.}}}$ 时，时针与分针重合。依公式有，

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}(60H+M)&=6M\\11M&=60H\\M&={\frac {60}{11}}H\end{aligned}}}$ 

代入${\displaystyle H=2}$ ，得${\displaystyle M=10{\frac {10}{11}}}$ 。即2时${\displaystyle 10{\frac {10}{11}}}$ 分，时针与分针重合。

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