细分 (图论)

在图论中，细分（subdivision）或分割[2]是指在一个图的其中一条边加入新的顶点，使这条边转变成由多个顶点构成之路径的变换，又称为扩展（expansion）[3]，为图子式理论中的基本算子之一，而变换完的像称为细分图[5]。

细分也可以用于将无回路（英语：Loop (graph theory)）图转换成简单图[1]。上图展示了使用重心细分将伪图（左）转换为简单图（右）的一个例子。

在图论的一般情况下，细分通常是指对边的细分，而在一些领域中会有对面或其他结构的细分（如高维度的标记），例如重心细分（英语：Barycentric subdivision）[6]，有时会称为剖分及剖分图。

定义

细分

细分是一种作用于边上的变换，因此其需作用于特定的边，令其记为e，并令e所连接的两个顶点记为u和v，而细分会在顶点u和v之间加入一个新的顶点w，并使原本的边uv改成路径uwv则完成一次细分变换，换句话说，即先在uv边之间加入顶点w，移除uv边后将u和v连到w[5]。

例如现在有一条边，记作e，其由顶点u和v组成，记为{u,v}：

 

透过细分变换，产生了新的顶点w，将e分割成两条边，分别记为e1和e2，皆连到新顶点w：

 

而细分变换存在逆变换，称为平滑（smoothing）变换。

 

细分变换的结果套用平滑变换会形成原像：

 

这两种变换的共通点是，其原像与变换像互为同胚。

广义的细分

更广义的，细分变换不一定只加入一个顶点，只要在边上有加入顶点的动作，都是一种细分，更精确地说，细分变换可以定义为将图G中的某一条边e替换为具有相同端点之路径，且构成该路径的顶点皆不在原本属于图G的顶点之中，且此路径也不会跟其他现有的顶点相连[7]。

细分图

假设有二图G和H，若图H可以透过反复对图G套用细分变换而得，则图H可以称为图G的细分图[5]。

扩展

扩展变换是指在一张图的某个边上，加入新的度为2之顶点，而产生的图可以称为原图的扩展[3]。

性质

当G'是G的细分时，则G'称为G的细分图，亦可以将G'称为G的扩展，记为TG，其中T表示扩展变换。G的原有的顶点若其位于细分作用的边上时，称为TG的分支顶点（branch vertex），在细分作用的边上加入之新的顶点称为TG的细分顶点（subdivision vertex），细分后产生的边称为细分边（subdivision edge）[8]，并且细分顶点具有度为2的特性[9]。

历史

细分的概念应用于图论，最早出现在1930年波兰数学家卡齐米日·库拉托夫斯基提出的一类禁用准则（指满足某种条件的图就一定无法具有某个性质）中，其所提出的库拉托夫斯基定理使用了细分图的概念[2]。

用途

细分可以用于几个与图论相关的证明和定理，例如判断两图是否同胚以及库拉托夫斯基定理中，对于简单图是否为平面图的准则，该定理为：如果一个简单图并不包含一个是 K5 或 K3,3 之细分图的子图，则该简单图是平面图，反之亦然，上述两条件为当且仅当关系[2]。其中， K5 代表有 5 个点的完全图，K3,3 代表两部分各 3 个点的完全二分图，特别地，若一图的子图是K5或 K3,3之细分图，则该子图又称为库拉托夫斯基子图[10] 。

此外，细分也可以用于将一般的图转换成简单图[1]。

相关变换

细分变换在图论中有一些不同的定义，例如重心细分（英语：Barycentric subdivision）在图论中就不是将多边形分割成三角形。

重心细分

在图论中，重心细分（Barycentric subdivision）是指将图的所有边进行细分的变换[11]，为一种特殊的细分变换，其变换的像总会是二分图[12]，且是一个无回路（英语：Loop (graph theory)）图[1]，而任何无回路图的重心细分结果皆会是简单图[1]。

重心细分可以被重复套用，任何图只要重复套用2次重心细分后结果总是简单图[11]。

参见

参考文献

  1. Yellen, Jay; Gross, Jonathan L., Graph Theory and Its Applications, Discrete Mathematics and Its Applications 2nd, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2005, ISBN 978-1-58488-505-4 
  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Ahmad, A and Imran, M and Al-Mushayt, O and Bokhary, SAUH. ON THE METRIC DIMENSION OF BARYCENTRIC SUBDIVISION OF CAYLEY GRAPHS Cay. Zn Zm (PDF). Miskolc Mathematical Notes. 2015, 16 (2): 637––646 [2019-05-11]. （原始内容 (PDF)存档于2021-01-18）. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 王树禾. 《圖論》. 科技出版社. 2004. ISBN 9787030124234. 
  3. ^ 3.0 3.1 Trudeau, Richard J. Introduction to Graph Theory Corrected, enlarged republication. New York: Dover Pub. 1993: 76 [8 August 2012]. ISBN 978-0-486-67870-2. （原始内容存档于2019-05-05）. Definition 20. If some new vertices of degree 2 are added to some of the edges of a graph G, the resulting graph H is called an expansion of G. 
  4. ^ 演算法觀點的圖論. 教科书. 国立台湾大学出版中心出版. 2017: 142 [2019-05-05]. ISBN 9789863502586. （原始内容存档于2021-04-13）. 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 算法观点的图论, 2017[4], p.142
  6. ^ Bayer, Margaret. Barycentric subdivisions. Pacific journal of mathematics (Mathematical Sciences Publishers). 1988, 135 (1): 1––16. 
  7. ^ 7.0 7.1 Diestel, R. 图 论: 第五版 (2018). Springer Graduate Texts in Mathematics (GTM). Reinhard Diestel. 2018 [2019-05-05]. （原始内容存档于2021-01-24）. 
  8. ^ Liu, Xiaogang and Lu, Pengli. Spectra of subdivision-vertex and subdivision-edge neighbourhood coronae. Linear Algebra and its Applications. 2012-12, 438: 3547–. doi:10.1016/j.laa.2012.12.033. 
  9. ^ 图 论: 第五版 (2018)[7], p. 17
  10. ^ Tutte, W. T., How to draw a graph, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 1963, 13: 743–767, MR 0158387, doi:10.1112/plms/s3-13.1.743 .
  11. ^ 11.0 11.1 Gross, J.L. and Yellen, J. Graph Theory and Its Applications, Second Edition. New York, USA: Chapman and Hall/CRC, Taylor & Francis. 2005 [2019-05-11]. ISBN 9781584885054. LCCN 2005052906. （原始内容存档于2021-01-24）. 
  12. ^ Ghodasara, GV and Rokad, AH. Cordial Labeling in context of barycentric subdivision of special graphs (PDF). International Journal of Mathematics Research. 2013, 5 (5): pp. 475–483 [2019-05-11]. ISSN 0976-5840. （原始内容 (PDF)存档于2019-02-24）.