策略 (博弈论)

在博弈论里，玩家在博弈中的策略是指在所有可能发生情况下的一套完整行动计划；这完全决定了玩家的行为。玩家的策略会决定玩家在博弈的任一阶段所采取的行动，不论这一阶段之前是如何演变而来的。

策略组合是每个玩家都完全选定他们在博弈中所有行动的一套策略。一个策略组合对每个玩家都必须包括一个且只能一个的策略。

策略有时会和移动搞混。移动是指玩家在博弈中某一点所采取的行动；策略则是完整的算法，告诉玩家在博弈中的每一个可能情况下要如何动作。

策略集合

策略集合是个由玩家所能采取的策略所组成的集合。

若玩家有有限个具体的策略可供选择，则称其有个有限策略集合。例如，在单一次剪刀、石头、布里，每一个玩家都有一个有限策略集合 {剪刀, 石头, 布} 。若有无限个具体的策略可供选择，则称其有个无限策略集合。例如，有规范出价增额的拍卖会有个无限策略集合 {$10, $20, $30, ...} 。另外，在分蛋糕问题里则有个连续的策略集合 {在蛋糕的百分之零至百分之百间的任一处切分} 。

在动态博弈里，策略集合是由玩家能够给定机器人如何进行博弈的规则所组成的。例如，在最后通牒博弈里，第二位玩家的策略集合应该是由要接受及要拒绝的各种规则所组成的。

在贝叶斯博弈里，其策略集合和动态博弈的相似，由任何私有情报所会采取的行动规则所组成。

选择策略集合

在应用博弈论里，策略集合的定义是使博弈能同时可解及有意义的重要一部分；利用对整个问题的了解来限制策略空间，以简化问题。

例如，严格来说，在最后通牒博弈里，玩家可以有策略如下：“拒绝 ($1, $3, $5, ..., $19)，而接受 ($0, $2, $4, ...,$20) ”。包括所有的策略会使得策略空间变得很大，并且得到一个稍难的问题；但对这博弈的理解，相信是可以限制其策略集合为 {拒绝所有不大于 x 的钱，而接受所有大于 x 的钱；这里的 x 等于 ($0, $1, $2, ..., $20) 的其中一个} 。

纯策略和混合策略

策略集合是由玩家能够施行的纯策略所组成的集合。例如“剪刀、石头、布”中，玩家只有剪刀、石头和布这三个策略。纯策略就是只使用策略集合中其中一条策略。

混合策略是对每个纯策略分配一个几率而形容的策略。混合策略允许玩家随机选择一个纯策略。因为几率是连续的，所以即使策略集合是有限的，也会有无限多个混合策略。

当然，严格来说，每个纯策略都是一个“退化”的混合策略，某一特定纯策略的几率为 1 ，其他的则为 0 。

完全混合策略是个混合策略，其对每个纯策略都分配了一个不为零的几率。（完全混合策略对如颤手完全均衡之类的均衡精细很重要。）

混合策略

例子

A B
A 1, 1 0, 0
B 0, 0 1, 1
纯协调博弈

假设一收益矩阵表示如右（为一协调博弈）。这里，一个玩家选择行(Row)，另一个玩家选择列(Column)。行玩家得到第一个收益，列玩家则得到第二个。若行玩家偏向百分之百选择 A ，则称他在玩纯策略。若列玩家偏向以掷硬币来决定，若头朝上则选择 A ，若字朝上则选择 B ，则称他在玩混合策略，而非纯策略。

重要性

在约翰·福布斯·纳什的一篇著名的论文里，他证明出对每个有限博弈，都存在一个均衡。纳什均衡可以分成两类：“纯策略纳什均衡”，之中的所有玩家都玩纯策略；和“混合策略纳什均衡”，之中至少有一位玩家玩混合策略。并不是每个博弈都会有纯策略纳什均衡，例如赌便士就只有混合策略纳什均衡，而没有纯策略纳什均衡。不过，还是有许多博弈有纯策略纳什均衡（如协调博弈、囚徒困境和猎鹿博弈）。甚至，有些博弈能同时有纯策略和混合策略均衡。

争议的解释

在1980年代时，混合策略的概念曾遭受很严重的攻击，被认为是“直觉地有问题”[1]。混合策略的核心－随机缺乏行为的支持，人们很少会凭运气做决定。此一行为问题在认知的难题上显得更加严重，因为没有人能够在没有随机数发生器的帮助之下做出随机的决定来。

在阿里尔·鲁宾斯坦的一篇论文中[2]，他描述了另一个了解此一概念的方法。首先，基于纯化理论[3]，并假设混合策略的解释只是反应了对玩家信息和决策过程认识的缺乏。明显地，随机决定被认为是不明确、利益无关的外部因素的结果。然而，一个由不明确的因素决定的结果很难令人感到满意。

第二个解释是，想像有许多组玩家在进行博弈，每组玩家都选择一个纯策略，且利益是依赖玩家们选择策略的百分比来决定的。因此，混合策略便表示是每一组玩家所选择的纯策略的分布。然而，这对玩家都是单独的一组时，提不出什么合理的解释。

之后，奥曼和布兰登柏格 [4]) 重新将纳什均衡解释成是一种“信念”的均衡，而不是行动的。例如，在剪刀、石头、布里，信念的均衡即每个玩家都“相信”对方会平均地施行每一个策略。然而，此一解释弱化了纳什均衡的预测能力，因为在此均衡里，“确实”地施行石头的纯策略也是可能的。

直至今日，学者们对混合策略的结果依然是很矛盾的。混合策略依然广泛地被应用不存在纯策略均衡的博弈中，以提供其一个纳什均衡，但这些模型都无法说清楚为何且如何玩家能够随机化他们的决定。

参考资料

  1. ^ Aumann, R. "What is Game Theory Trying to accomplish?" （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Frontiers of Economics, edited by K. Arrow and S. Honkapohja, pp. 909-924, Basil Blackwell, Oxford, 1985.
  2. ^ Rubinstein, A. "Comments on the interpretation of Game Theory", Econometrica, July, 1991 (Vol. 59, n°4)
  3. ^ Harsanyi, John, Games with randomly disturbed payoffs: a new rationale for mixed-strategy equilibrium points, Int. J. Game Theory, 1973, 2: 1–23 
  4. ^ Aumann, Robert; Brandenburger, Adam, Epistemic Conditions for Nash Equilibrium, Econometrica, 1995, 63: 1161–1180 

另见