无名氏定理

重复博弈中的纳什均衡应该满足以下两个性质：

• 个人理性：最终支付至少要大弱占优于参与者能得到的最大收益的最小值（即最小最大收益），否则他还不如选择最小最大化策略。
• 可行性：最终支付必须是一系列可能策略的凸组合，因为重复博弈中参与者的最终支付就是单个博弈中收益的加权平均。

无名氏定理有若干种，有些考虑有限重复博弈，有些考虑无限重复博弈。^[4]

在不考虑贴现的无穷博弈中，参与者都是有耐心的。在任何时间点，相同的效用带来的收益都是相同的。所以在无穷博弈中，每个参与者的收益就等于每一期博弈获取效用的总和。

就无穷博弈而言，总收益的计算通常是平均效用取极限以后的下确界。假设第${\displaystyle t}$ 期参与者${\displaystyle i}$ 选择的行动是${\displaystyle x_{t}}$ ，那么他的总收益就是：

${\displaystyle U_{i}=\lim _{T\to \infty }\inf {\frac {1}{T}}\sum _{t=0}^{T}u_{i}(x_{t}),}$ 

其中${\displaystyle u_{i}}$ 表示每个阶段博弈中，参与者${\displaystyle i}$ 的效用函数。

这种情况下，无名氏定理指出：阶段博弈中满足个人理性且可行的行动在无穷博弈中都是纳什均衡。

考虑冷酷战略（英语：Grim trigger）。所有参与者都按照预定的策略进行每一期博弈。如果在某一期中有人没有使用预定策略，从下一期开始所有人永远选择让这个人只能拿到最小最大收益的策略。这样，出偏差的人的总收益也只能是最小最大收益，所以所有人都愿意按照预定策略行事。^{[5][6][7]:139[8]}

子博弈精炼均衡

上述纳什均衡不一定是一个子博弈精炼均衡。如果实施惩罚对其他人的收益影响也很大，那么惩罚就是不可信的。

要想达到子博弈精炼均衡，每次有人偏离预定策略时，惩罚不应该一直实施下去，而只应持续到出偏差的人在那一期博弈带来的额外收益得到抵消为止。之后，大家依旧按照预定策略继续博弈。^{[5][7]:146–149}

因为计算总收益的方法是平均收益取极限，所以有限期的惩罚并不会影响总收益。这样，这就是一个子博弈精炼纳什均衡。

设贴现因子${\displaystyle \delta }$ 满足${\displaystyle 0<\delta <1}$ ，无穷博弈的总收益为：

${\displaystyle U_{i}=(1-\delta )\sum _{t\geq 0}\delta ^{t}u_{i}(x_{t}),}$ 

贴现因子的大小反映出参与者的耐心高低。

这种情况下的无名氏定理指出，每个人的总收益将严格大于最小最大收益。