刚性方程

考虑下面的初值问题：

${\displaystyle \,y'(t)=-15y(t),\quad t\geq 0,\,y(0)=1}$ 

其精确解是

${\displaystyle y(t)=e^{-15t}}$ ，并且显然当${\displaystyle t\to \infty }$ 时${\displaystyle y(t)\to 0}$ 。

会希望数值解能够具有相同的特性。

若以欧拉方法来求数值解，则使用不同的步长（step size）将会得到不同的结果。第一种，步长${\displaystyle h=1/4}$ 的欧拉法强烈的震荡并且很快离开了图的边界。当将步长减半为${\displaystyle h=1/8}$ 时，得到的结果在图的范围以内。但是它依然在0附近震荡，并且不可能表示精确的解。

而梯形法，即两阶段亚丹士-莫耳吞法（英语：Linear multistep method），表达为

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{1 \over 2}h\left(f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1})\right).}$ 

其求得的结果比欧拉法的结果要好很多。如上图所示，数值结果单调地减少到零，如同精确解一样。

刚性系统的特色是该系统所有特征值的实部均为负数，并且其中特征值实部绝对值中，最大和最小的比值远大于1。

将龙格－库塔法应用至测试方程${\displaystyle y'=k\cdot y}$ ，可以得到如${\displaystyle y_{n+1}=\phi (hk)\cdot y_{n}}$ 的形式，并可归纳出${\displaystyle y_{n}=(\phi (hk))^{n}\cdot y_{0}}$ ，其中${\displaystyle \phi }$ 称为稳定性函数。因此${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=0}$ 的条件等价于${\displaystyle |\phi (hk)|<1}$ 。这启发了绝对稳定区域（有时简称为稳定区域）的定义，亦即集合${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} |\,|\phi (z)|<1\}}$ 。

若一个方法的稳定区域包含${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} |\,\mathrm {Re} (z)<0\}}$ （即左半平面），则称该方法为A-稳定（英语：A-stability）。

• 显式法及隐式法
• 条件数
• 微分包含式

• Dahlquist, Germund, A special stability problem for linear multistep methods, BIT, 1963, 3: 27–43, doi:10.1007/BF01963532 .
• Ehle, B. L., On Padé approximations to the exponential function and A-stable methods for the numerical solution of initial value problems, Report 2010, University of Waterloo, 1969 .
• Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard, Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems second, Berlin: Springer Verlag, 1996, ISBN 978-3-540-60452-5 .
• Iserles, Arieh; Nørsett, Syvert, Order Stars, Chapman and Hall, 1991, ISBN 978-0-412-35260-7 .
• Wanner, Gerhard; Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert, Order stars and stability theory, BIT, 1978, 18: 475–489, doi:10.1007/BF01932026 .

• An Introduction to Physically Based Modeling: Energy Functions and Stiffness（页面存档备份，存于互联网档案馆）