群速度

定义

群速度通过下列方程定义：

${\displaystyle v_{g}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$ 

其中，

v_g是群速度

ω是波的角频率

k是波数或波矢。

函数ω(k)将ω设为k的函数，被称为色散关系。

• 如果ω正比于k，则群速度恰等于相速度，波形在传播过程中不会被扭曲。
• 如果ω与k呈线性关系，而不是正比关系（ω=ak+b），此时群速度和相速度不同。波包以群速度传播，但波包里的峰和谷以相速度传播。
• 如果ω与k不是呈线性关系，波包不是以单一速度传播，在行进中将会逐渐扭曲，这种扭曲与群速度有关。这样的“群速度色散”在光纤中讯号的传递，以及短脉冲激光的设计两个课题上是个重要的效应。

物理意义

群速度常被认为是能量或信息顺着波动传播的速度。多数情况下这是正确的，也因此群速度可被视为波形所带有的讯号速度。然而，如果波行经过吸收性介质（absorptive medium），这种情况就不一定成立。举例而言，可以设计实验将激光光脉冲送过特殊准备的物质，使得其群速度大大地超过真空中光速。然而讯号速度总是低于或等于光速，因此超光速通信是不可能。此外也可以将群速度减少到零，将脉冲停住，或者是得到负值的群速度，因为脉冲是以相反方向行进。

群速度迥异于相速度的概念是首先由哈密顿于1839年提出，这方面完整的处理则出现在瑞利勋爵（Lord Rayleigh）的1877年的著作《声理论》（Theory of Sound）中。

爱因斯坦于1905年首先解释光的波粒二象性。路易·德布罗意提出德布罗意假说指出任何粒子都应该表现出这样的二元性。在他的看法，粒子的速度应该永远等于相对应物质波的群速度。德布罗意想到：若为世所知的光的二元性方程和其他粒子会是一样的，则他的假说会成立。这表示：

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (p/\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial p}}}$ 

其中${\displaystyle E}$ 是粒子总能，p是粒子动量，以及${\displaystyle \hbar }$ 是约化普朗克常数。利用狭义相对论，我们会发现：

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\right)={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}={\frac {\gamma mvc^{2}}{\sqrt {{\gamma }^{2}m^{2}v^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}={\frac {\gamma vc}{\sqrt {{\gamma }^{2}v^{2}+c^{2}}}}=v}$ 

其中m是静质量，c是真空中光速，以及${\displaystyle \gamma }$ 是洛伦兹因子。变数v是不考虑波动行为的粒子速度。量子力学很精准地证实了这项假说，而且这项关系已经在粒子被明显展示，粒子大小甚至可以大到如一些分子。

• 色散
• 慢光