方法
考虑以下形式的微分方程:
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其中 是 的未知函数, 和 是给定的函数。
我们希望把左面化成两个函数的乘积的导数的形式。
考虑函数 。我们把(1)的两边乘以
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如果左面是两个函数的乘积的导数,那么:
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两边积分,得:
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其中 是一个常数。于是,
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为了求出函数 ,我们把(3)的左面用乘法定则展开:
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与(2)比较,可知 满足以下微分方程:
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两边除以 ,得:
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等式(5)是对数导数的形式。解这个方程,得:
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我们可以看到, 的性质在解微分方程中是十分重要的。 称为积分因子。
例子
解微分方程
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我们可以看到, :
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两边乘以 ,得:
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或
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可得
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一般的应用
积分因子也可以用来解非线性微分方程。例如,考虑以下的非线性二阶微分方程:
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可以看到, 是一个积分因子:
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利用复合函数求导法则,可得:
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因此
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利用分离变量法,可得:
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这就是方程的通解。
参见
参考文献
- Adams, R. A. Calculus: A Complete Course, 4th ed. Reading, MA: Addison Wesley, 1999.