希尔微分方程

希尔微分方程或是希尔方程是指以下的二阶常微分方程

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}$

其中f(t)为周期函数^[1]

希尔微分方程得名自1886年发现此方程的天文学家乔治·希尔^[2]

一般会假设f(t)的周期为π，则希尔方程可以改写为f(t)的傅里叶级数：

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0.}$

希尔方程中特殊的例子有马丢方程（只对应n = 0, 1的情形）以及Meissner方程（英语：Meissner equation）。

在研究周期微分方程时，希尔微分方程是重要的范例。依照f(t)的不同，其解可能一直是有界的，也有可能其振荡的振幅会指数成长^[3]。Hill微分方程的准确解可以由弗洛凯理论描述。其解也可以用Hill行列式表示。

希尔微分方程最早是应用在月球稳定性的研究，不过后来也用在许多其他的领域，包括四极杆质量分析器（英语：quadrupole mass spectrometer）的建模，像是晶体中电子的一维薛定谔方程等。