对数微分法

对于某函数

${\displaystyle y=f(x)\,\!}$ 

运用对数微分法，通常对函数两边取绝对值后取自然对数^[4]。

${\displaystyle \ln |y|=\ln |f(x)|\,\!}$ 

运用隐式微分法^[5]，可得

${\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$ 

两边同乘以y，则方程左边只剩下dy/dx：

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y\times {\frac {f'(x)}{f(x)}}=f'(x).}$ 

对数微分法有用，是因为对数的性质可以大大简化复杂函数的微分^[6]，常用的对数性质有：^[3]

${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{n})=n\ln(a)}$ 

通用公式

有一如下形式的函数，

${\displaystyle f(x)=\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}.}$ 

两边取自然对数，得

${\displaystyle \ln(f(x))=\sum _{i}\alpha _{i}(x)\cdot \ln(f_{i}(x)),}$ 

两边对x求导，得

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].}$ 

两边同乘以${\displaystyle f(x)}$ ，可得原函数的导数为

${\displaystyle f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}}$ 

积函数

对如下形式的两个函数的积函数

${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\,\!}$ 

两边取自然对数，可得如下形式的和函数

${\displaystyle \ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x))\,\!}$ 

应用链式法则，两边微分，得

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}}$ 

整理，可得^[7]

${\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}=g(x)h(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}}$ 

商函数

对如下形式的两个函数的商函数

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}\,\!}$ 

两边取自然对数，可得如下形式的差函数

${\displaystyle \ln(f(x))=\ln {\Bigg (}{\frac {g(x)}{h(x)}}{\Bigg )}=\ln(g(x))-\ln(h(x))\,\!}$ 

应用链式法则，两边求导，得

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}}$ 

整理，可得

${\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}={\frac {g(x)}{h(x)}}\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}}$ 

右边通分之后，结果和对${\displaystyle f(x)}$ 运用除法定则所得结果相同。

复合指数函数

对于如下形式的函数

${\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}\,\!}$ 

两边取自然对数，可得如下形式的积函数

${\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))\,\!}$ 

应用链式法则，两边求导，得

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}}$ 

整理，得

${\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}=g(x)^{h(x)}\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}.}$ 

与将函数f看做指数函数，直接运用链式法则所得结果相同。

• 对数恒等式

• 网易公开课：对数微分法. 网易. [2014-11-26]. （原始内容存档于2020-01-07）. 
• 对数之微分法（高中文理科）. Youtube. [2014-11-26]. （原始内容存档于2016-03-14）. 
• Differentiation by taking logarithms – Teach yourself. mathcentre.ac.uk. [2012-01-03]. （原始内容存档于2020-10-26）. 
• Logarithmic differentiation. [2009-03-10]. （原始内容存档于2020-11-27）. 
• Calculus I – Logarithmic differentiation. [2009-03-10]. （原始内容存档于2021-01-03）.