循环单位

${\displaystyle R_{1}\,\!}$ 至${\displaystyle R_{b}\,\!}$ 的循环单位，${\displaystyle R_{n}\,\!}$ 的平方有一个很有趣的性质，它们都会得出由1到${\displaystyle n\,\!}$ 的数字顺序组成的回文数。例如十进制中的：

        1×1        =        1
       11×11       =       121
      111×111      =      12321
     1111×1111     =     1234321
    11111×11111    =    123454321
   111111×111111   =   12345654321
  1111111×1111111  =  1234567654321
 11111111×11111111 = 123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321

而上述原则于十进制，只在${\displaystyle n<10\,\!}$ 的情况下才能生效，因为在${\displaystyle n>9\,\!}$ 的情况下，${\displaystyle R_{n}\,\!}$ 的平方已经不能组成回文数。例如：

      11111111111×1111111111      =      1234567900987654321
     111111111111×11111111111     =     123456790120987654321
    1111111111111×111111111111    =    12345679012320987654321
   11111111111111×1111111111111   =   1234567901234320987654321
  111111111111111×11111111111111  =  123456790123454320987654321
 1111111111111111×111111111111111 = 12345679012345654320987654321
11111111111111111×1111111111111111=1234567901234567654320987654321
...

虽然在${\displaystyle 9<n<19\,\!}$ 的情况下，${\displaystyle R_{n}\,\!}$ 的平方不能组成回文数，却有着固定的结构：

1. 如果${\displaystyle n=10\,\!}$ ，前缀：123456790，后缀：0987654321
2. 如果${\displaystyle n>10\,\!}$ ，前缀：123456790，中段：从1开始顺序数数，直至得出${\displaystyle n\,\!}$ 与9的差，再倒数至2，后缀：0987654321

当${\displaystyle n}$ 能被大于1的${\displaystyle k}$ 整除时，${\displaystyle R_{k}|R_{n}}$ （例如${\displaystyle 111111111=111\times 1001001}$ ），因此若${\displaystyle R_{n}}$ 是质数，${\displaystyle n}$ 必须是质数。

现在已知${\displaystyle n=2,19,23,317,1031}$ 时，${\displaystyle R_{n}}$ 是质数，而${\displaystyle n=49081,86453,109297,270343,5794777,8177207}$ 的${\displaystyle R_{n}}$ 则可能是伪素数，${\displaystyle R_{8177207}}$ 是目前已知最大的可能质数（英语：probable prime）。

• 循环单位因数表