概率母函数

单变量情形

如果 ${\displaystyle X}$  是在非负整数域${\displaystyle \{0,1,...\}}$ 上取值的离散随机变量，那么${\displaystyle X}$ 的概率母函数定义为 ^[1]

${\displaystyle G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x},}$ 

其中${\displaystyle p}$ 是${\displaystyle X}$ 的概率质量函数。

多变量情形

如果 ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{d})}$  是在d-非负整数格${\displaystyle \{0,1,\ldots \}^{d}}$ 上取值的离散随机变量，那么${\displaystyle X}$ 的概率母函数定义为

${\displaystyle G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},}$ 

其中${\displaystyle p}$ 是${\displaystyle X}$ 的概率质量函数。

• Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete distributions (2nd edition). Wiley. 互联网档案馆）>