对数分布

在概率论与统计学中，对数分布是一种离散概率分布形式，它也称为对数级数分布。

对数分布

参数	${\displaystyle 0<p<1\!}$
值域	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}\!}$
概率质量函数	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!}$
累积分布函数	${\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}\!}$
期望值	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}\!}$
众数	${\displaystyle 1}$
方差	${\displaystyle -p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}\!}$
矩生成函数	${\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}}\!}$
特征函数	${\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}}\!}$

对数分布是从−ln(1−p)的麦克劳伦级数展开

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$

派生出来的，因此

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}$

这样就可以直接导出呈Log(p)分布的随机变量在${\displaystyle k\geq 1}$且${\displaystyle 0<p<1}$时的概率集聚函数：

${\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

由于上面是单位值，所以这个分布已经进行了归一化。

累积分布函数位

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

其中${\displaystyle \mathrm {B} }$是不完全贝塔函数。

罗纳德·费雪将这种分布应用在群体遗传学上。