二项分布

概率质量函数

一般来说，若随机变量${\displaystyle {\mathit {X}}}$ 服从参数为${\displaystyle {\mathit {n}}}$ 和${\displaystyle {\mathit {p}}}$ 的二项分布，我们记作${\displaystyle X\sim b(n,p)}$ 或${\displaystyle X\sim B(n,p)}$ 。n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出：

${\displaystyle f(k,n,p)=\Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ 

对于${\displaystyle k=0,1,2,\cdots ,n}$ ，其中${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ 

是二项式系数（这就是二项分布的名称的由来），又记为${\displaystyle C(n,k)}$ ，${\displaystyle _{n}C_{k}}$ ，或${\displaystyle ^{n}C_{k}}$ 。该公式可以用以下方法理解：我们希望有${\displaystyle k}$ 次成功(${\displaystyle p^{k}}$ )和${\displaystyle n-k}$ 次失败${\displaystyle (1-p)^{n-k}}$ 。然而，${\displaystyle k}$ 次成功可以在${\displaystyle {\mathit {n}}}$ 次试验的任何地方出现，而把${\displaystyle k}$ 次成功分布在${\displaystyle {\mathit {n}}}$ 次试验中共有${\displaystyle C(n,k)}$ 个不同的方法。

在制造二项分布概率的参考表格时，通常表格中只填上${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$ 个值。这是因为${\displaystyle k>{\frac {n}{2}}}$ 时的概率可以从它的补集计算出：

${\displaystyle f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p)\,}$ 

因此，我们要看另外一个${\displaystyle k}$ 和另外一个${\displaystyle p}$ （二项分布一般不是对称的）。然而，它的表现不是任意的。总存在一个整数${\displaystyle M}$ ，满足:

${\displaystyle (n+1)p-1<M\leq (n+1)p\,}$ 

作为${\displaystyle k}$ 的函数，表达式${\displaystyle f(k;n,p)}$ 当${\displaystyle k<M}$ 时单调递增，${\displaystyle k>M}$ 时单调递减，只有当${\displaystyle (n+1)p}$ 是整数时例外。在这时，有两个值使${\displaystyle f}$ 达到最大：${\displaystyle (n+1)p}$ 和${\displaystyle (n+1)p-1}$ 。${\displaystyle M}$ 是伯努利试验的最可能的结果，称为众数。注意它发生的概率可以很小。

累积分布函数（概率分布函数）

累积分布函数可以表示为：

${\displaystyle F(x;n,p)=\Pr(X\leq x)=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}}$ 

其中${\displaystyle \lfloor x\rfloor \,}$ 是小于或等于${\displaystyle x}$ 的最大整数。

它也可以用正则化不完全贝塔函数来表示：

${\displaystyle {\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt\end{aligned}}}$ 

如果${\displaystyle X\sim B(n,p)}$ （也就是说，${\displaystyle X}$ 是服从二项分布的随机变量），那么${\displaystyle X}$ 的期望值为

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=np}$ 

方差为

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=np(1-p).}$ 

这个事实很容易证明。首先假设有一个伯努利试验。试验有两个可能的结果：1和0，前者发生的概率为${\displaystyle p}$ ，后者的概率为${\displaystyle 1-p}$ 。该试验的期望值等于${\displaystyle \mu =1\cdot p+0\cdot (1-p)=p}$ 。该试验的方差也可以类似地计算：${\displaystyle \sigma ^{2}=(1-p)^{2}\cdot p+(0-p)^{2}\cdot (1-p)=p(1-p)}$ .

一般的二项分布是${\displaystyle n}$ 次独立的伯努利试验的和。它的期望值和方差分别等于每次单独试验的期望值和方差的和：

${\displaystyle \mu _{n}=\sum _{k=1}^{n}\mu =np,\qquad \sigma _{n}^{2}=\sum _{k=1}^{n}\sigma ^{2}=np(1-p).}$ 

通常二项分布${\displaystyle B(n,p)}$ 的众数等于${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$ ，其中 ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$  是取整函数。然而，当${\displaystyle (n+1)p}$ 是整数且${\displaystyle p}$ 不等于0或1时，分布有两个众数：${\displaystyle (n+1)p}$ 和${\displaystyle (n+1)p-1}$ 。当${\displaystyle p}$ 等于0或1时，众数相应地等于0或${\displaystyle n}$ 。这些情况可以综述如下：

${\displaystyle {\text{mode}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &{\text{若 }}(n+1)p{\text{ 是 0 或 非 整 数 }},\\(n+1)\,p\ {\text{ 和 }}\ (n+1)\,p-1&{\text{若 }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&{\text{若 }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}}$ 

一般地，没有一个单一的公式可以求出二项分布的中位数，甚至中位数可能是不唯一的。然而有几个特殊的结果：

• 如果${\displaystyle np}$ 是整数，那么平均数、中位数和众数相等，都等于${\displaystyle np}$ 。^[1][2]
• 任何中位数${\displaystyle m}$ 都位于区间${\displaystyle \lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil np\rceil }$ 内。^[3]
• 中位数${\displaystyle m}$ 不能离平均数太远：${\displaystyle \left\vert m-np\right\vert \leq \min\{\ln 2,\ \max\{p,1-p\}\}}$ 。^[4]
• 如果${\displaystyle p\leq 1-\ln 2}$ ，或${\displaystyle p\geq \ln 2}$ ，或${\displaystyle \left\vert m-np\right\vert \leq \min\{p,1-p\}}$ （除了${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$ 、${\displaystyle n}$ 是奇数的情况以外），那么中位数是唯一的，且等于${\displaystyle m=\mathrm {round} (np)}$ 。^[3][4]
• 如果${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$ ，且${\displaystyle n}$ 是奇数，那么区间${\displaystyle {\frac {1}{2}}(n-1)\leq m\leq {\frac {1}{2}}(n+1)}$ 中的任何数${\displaystyle m}$ 都是二项分布的中位数。如果${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$ 且${\displaystyle n}$ 是偶数，那么${\displaystyle m={\frac {n}{2}}}$ 是唯一的中位数。

如果有两个服从二项分布的随机变量${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ ，我们可以求它们的协方差。利用协方差的定义，当${\displaystyle n=1}$ 时我们有

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\mu _{X}\mu _{Y}.}$ 

第一项仅当${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 都等于1时非零，而${\displaystyle \mu _{x}}$ 和${\displaystyle \mu _{y}}$ 分别为${\displaystyle X=1}$ 和${\displaystyle Y=1}$ 的概率。定义${\displaystyle p_{B}}$ 为${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 都等于1的概率，便得到

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=p_{B}-p_{X}p_{Y},\,}$ 

对于n次独立的试验，我们便有

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)_{n}=n(p_{B}-p_{X}p_{Y}).\,}$ 

如果${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 是相同的变量，便化为上面的方差公式。

二项分布的和

如果${\displaystyle X\sim B(n,p)}$ 和${\displaystyle Y\sim B(m,p)}$ ，且${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 相互独立，那么${\displaystyle X+Y}$ 也服从二项分布；它的分布为

${\displaystyle X+Y\sim B(n+m,p).\,}$ 

伯努利分布

伯努利分布是二项分布在${\displaystyle n=1}$ 时的特殊情况。${\displaystyle X\sim B(1,p)}$ 与${\displaystyle X\thicksim \mathrm {Bern} (p)}$ 的意思是相同的。相反，任何二项分布${\displaystyle B(n,p)}$ 都是${\displaystyle n}$ 次独立伯努利试验的和，每次试验成功的概率为${\displaystyle p}$ 。

泊松二项分布

二项分布是泊松二项分布的一个特殊情况。泊松二项分布是${\displaystyle n}$ 次独立、不相同的伯努利试验(${\displaystyle p_{i}}$ )的和。如果${\displaystyle X}$ 服从泊松二项分布，且${\displaystyle p_{1}=\cdots =p_{n}=p}$ ，那么${\displaystyle X\sim B(n,p)}$ 。

正态近似

如果${\displaystyle n}$ 足够大，那么分布的偏度就比较小。在这种情况下，如果使用适当的连续性校正，那么${\displaystyle B(n,p)}$ 的一个很好的近似是正态分布：

${\displaystyle {\mathcal {N}}(np,\,np(1-p))}$ 

${\displaystyle {\mathcal {Var}}(x)=np(1-p)}$ 

${\displaystyle n}$ 越大（至少30），近似越好，当${\displaystyle p}$ 不接近0或1时更好。^[5]不同的经验法则可以用来决定${\displaystyle n}$ 是否足够大，以及${\displaystyle p}$ 是否距离0或1足够远：

• 一个规则是${\displaystyle np}$ 和${\displaystyle n(1-p)}$ 都必须大于5。

泊松近似

当试验的次数趋于无穷大，而乘积${\displaystyle np}$ 固定时，二项分布收敛于泊松分布。因此参数为${\displaystyle \lambda =np}$ 的泊松分布可以作为二项分布${\displaystyle B(n,p)}$ 的近似，如果${\displaystyle n}$ 足够大，而${\displaystyle p}$ 足够小。^[6]

• 当${\displaystyle n}$ 趋于${\displaystyle \infty }$ ，${\displaystyle p}$ 趋于0，而${\displaystyle np}$ 固定于${\displaystyle \lambda >0}$ ，或至少${\displaystyle np}$ 趋于${\displaystyle \lambda >0}$ 时，二项分布${\displaystyle B(n,p)}$ 趋于期望值为λ的泊松分布。

• 当${\displaystyle n}$ 趋于${\displaystyle \infty }$ 而${\displaystyle p}$ 固定时，

${\displaystyle {X-np \over {\sqrt {np(1-p)\ }}}}$ 

的分布趋于期望值为 0、方差为 1的正态分布。这个结果是中心极限定理的一个特殊情况。

一个简单的例子如下：掷一枚骰子十次，那么掷得4的次数就服从${\displaystyle n=10}$ 、${\displaystyle p={\frac {1}{6}}}$ 的二项分布。

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