稳定分布

一个稳定分布可以用尺度${\displaystyle c}$ 、特性指数${\displaystyle \alpha }$ 、移位${\displaystyle \mu }$ 和偏度参数${\displaystyle \beta }$ 来表示。

偏度参数必须位于区间[−1, 1]内。当它为零时，分布呈对称，可以称为雷维阿尔法对称稳定分布。指数${\displaystyle \alpha }$ 必须位于区间(0, 2]内。

稳定分布可以用它的特征函数${\displaystyle \varphi (t)}$ 的连续傅里叶变换来定义：

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={1 \over 2\pi }\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (t)e^{-itx}\,dt}$ 

其中${\displaystyle \varphi (t)}$ 可以表示为：

${\displaystyle \varphi (t)=\exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{\alpha }\,(1\!-\!i\beta \,{\textrm {sgn}}(t)\Phi )~\right]}$ 

其中sgn(t) 是t 的符号，${\displaystyle \Phi }$  表示为：

${\displaystyle \Phi =\tan(\pi \alpha /2)\,}$ 

当${\displaystyle \alpha =1}$ 时

${\displaystyle \Phi =-(2/\pi )\log |t|.\,}$ 

${\displaystyle \mu }$ 是移位参数，${\displaystyle \beta }$ 衡量对称性。当${\displaystyle \beta }$ =0时，表示分布关于${\displaystyle \mu }$ 对称。${\displaystyle c}$ 是尺度因素，它衡量分布的宽度。${\displaystyle \alpha }$ 是分布指数，表示当${\displaystyle \alpha <2}$ 时分布的渐进行为。

当${\displaystyle \alpha <2}$  时的渐进行为可以表示为：

${\displaystyle f(x)\sim {\frac {\alpha c^{\alpha }(1+\beta )\sin(\pi \alpha /2)\Gamma (\alpha )/\pi }{|x|^{1+\alpha }}}}$ 

其中Γ是伽马函数（除了当α<1和β=1或-1时，尾部向着左边或者右边消失）。这种“重尾”行为造成稳定分布的方差在${\displaystyle \alpha <2}$  时无限大。

${\displaystyle p(x)}$ 的形式没有统一的方案，但是却存在三个特例：

• 对于${\displaystyle \alpha =2}$ ，分布缩减为正态分布（方差为${\displaystyle \sigma ^{2}=2c^{2}}$ ，均值为${\displaystyle \mu }$ ）
• 对于${\displaystyle \alpha =1}$ 和${\displaystyle \beta =0}$ ，分布缩减为柯西分布（尺度参数为${\displaystyle c}$ ，移位参数为${\displaystyle \mu }$ ）
• 对于${\displaystyle \alpha =1/2}$ 和${\displaystyle \beta =1}$ ，分布缩减为雷维分布（尺度参数为${\displaystyle c}$ ，移位参数为${\displaystyle \mu }$ ）

以上三个分布其实是相互关联的。一个标准的柯西随机变量可以被看成是高斯随机变量（所有均值为零）和一个标准雷维分布的方差的混合。

稳定分布拥有稳定性质，如果把${\displaystyle N}$ 个阿尔法稳定变量${\displaystyle X_{i}}$ 从以下分布中提出：

${\displaystyle X_{i}\sim f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )\,}$ 

那么

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}k_{i}(X_{i}-\mu )\,}$ 

也像阿尔法稳定变量那样分布

${\displaystyle Y\sim {\frac {1}{s}}\,\,f(y/s;\alpha ,\beta ,c,0).\,}$ 

其中：

${\displaystyle s=\left(\sum _{i=1}^{N}|k_{i}|^{\alpha }\right)^{1/\alpha }.\,}$ 

这用特性函数的性质可以很容易证明。

另外一个关于稳定分布的重要的性质是它们在中心极限定理中扮演的角色。中心极限定理阐明了随着有限方差的随机变量数量增长，它们的和的分布趋向正态分布。一个推广的理论指出随着服从以${\displaystyle 1/|x|^{\alpha +1}}$ 递减的幂律尾分布（因此具有无限方差）的随机变量数量增长，它们的和的分布趋向稳定分布${\displaystyle f(x;\alpha ,0,c,0)}$  。

稳定分布可以用更简单的积分来表示：

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}e^{-(ct)^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}\,dt\right]}$ 

把第二部分用泰勒级数表示，我们有：

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-qt^{\alpha })^{n}}{n!}}\right]}$ 

其中${\displaystyle q=c^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}$ 

把积分和求和的顺序对调，然后进行积分，式子变成：

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {1}{i(x-\mu )}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]}$ 

（在${\displaystyle x\neq \mu }$ 的情况下成立）

• GNU Scientific Library - Reference Manual Edition 1.12, for GSL Version 1.12, 16 December 2008
  • The Levy alpha-Stable Distributions. GNU Scientific Library - Reference Manual. [2006-11-24]. （原始内容存档于2006-11-23）. 
  • The Levy skew alpha-Stable Distribution. GNU Scientific Library - Reference Manual. [2006-11-24]. （原始内容存档于2006-11-23）. 
• B. V. Gnedenko and A. N. Kolmogorov. Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables. Addison-Wesley. 1954. 
• Johannes Voit. The Statistical Mechanics of Financial Markets (Texts and Monographs in Physics). Springer-Verlag. 2003.  
• Some improvements in numerical evaluation of symmetric stable density and its derivatives (PDF). CIRGE Discussion paper. （原始内容 (PDF)存档于2006-10-01）. 
• John P. Nolan. Information on stable distributions. [2006-11-24]. （原始内容存档于2006-10-30）. 
  • John P. Nolan. Stable Distributions Models for Heavy Tailed Data (PDF). January 11, 2005 [2006-11-24]. （原始内容存档 (PDF)于2011-07-17）. 
  • John P. Nolan. Bibliography on stable distributions, processes and related topics (PDF). November 29, 2005 [2006-11-24]. （原始内容存档 (PDF)于2006-09-01）. 
• I. Ibragimov, Yu. Linnik. Independent and Stationary Sequences of Random Variables. Wolters-Noordhoff Publishing Groningen, The Netherlands. 1971. 
• Peach, G. Theory of the pressure broadening and shift of spectral lines. Advances in Physics. 1981, 30 (3): 367–474 [2006-11-24]. （原始内容存档于2013-01-14）. 
• V.M. Zolotarev. One-dimensional Stable Distributions. American Mathematical Society. 1986.