测度收敛

测度收敛是测度论中的一个概念：假设可测空间上有一个有趣却很难直接构造的测度μ，我们希望能找到一列相对容易构造或分析的测度 $\mu _{n}$ ，随着 $n$ 的增大， $\mu _{n}$ 的性质与 $\mu$ 越来越相似。 '越来越相似' 和一般的 序列的极限的想法一致：对于任何可接受的误差 $\varepsilon >0$ ，只要 $N$ 充分大，对于任何 $n\geqslant N$ ， $\mu _{n}$ 和 $\mu$ 之间的'差别'小于 $\varepsilon$ 。收敛的定义也就取决于'差别'的定义。这些定义可能互相不等价，强弱有别。

下面介绍3种最常见的测度收敛的定义。

测度的总变差收敛

测度的强收敛

测度的弱收敛

在数学和统计学中, 弱收敛 (即为泛函分析中的 弱*收敛)是 测度论中广泛应用的一种收敛。下面是几种测度弱收敛的等价定义。这些等价定义被称为 portmanteau定理.^[1]

定义 $S$ 为拥有 Borel σ-代数 $\Sigma$ 的度量空间。我们称一列(S, Σ)上的概率测度 $P_{n}$ , $n=1,2,...$ 弱收敛于概率测度 $P$ ,（记为

$P_{n}\Rightarrow P$ ）
如果下面任何一条条件得到满足 ( $E_{n}$ 为关于概率 $\mu$ 的数学期望， $E$ 为关于概率 $P$ 的数学期望):

$E_{n}f\rightarrow Ef$ 对于任何有界连续的函数 $f$ ,

$E_{n}f\rightarrow Ef$ 对于任何有界且满足 Lipschitz条件的函数 $f$ ,

$\limsup E_{n}f\geqslant Ef$ 对于任何有上界的 上半连续 的函数 $f$ ,

$\liminf E_{n}f\geqslant Ef$ 对于任何有下界的 下半连续 的函数 $f$ ,

$\limsup P_{n}(C)\geqslant P(C)$ 对于任何空间S中的闭集 $C$ ;

$\liminf P_{n}(U)\geqslant P(U)$ 对于任何空间S中的开集 $U$ ;

$\lim P_{n}(A)\geqslant P(A)$ 对于任何关于概率P连续的集合 $A$ .

参考文献

^ Achim Klenke, Probability theory (2006) Springer-Verlag, ISBN 3-7643-2428-7.
Billingsley, Patrick. Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1995. ISBN 0-471-00710-2.
Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-19745-9.

[1] Achim Klenke, Probability theory (2006) Springer-Verlag, ISBN 3-7643-2428-7.

[2] Billingsley, Patrick. Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1995. ISBN 0-471-00710-2.

[3] Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-19745-9.

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