测度收敛

测度收敛测度论中的一个概念: 假设可测空间上有一个有趣却很难直接构造的测度μ,我们希望能找到一列相对容易构造或分析的测度 ,随着 的增大, 的性质与 越来越相似。 '越来越相似' 和一般的 序列的极限的想法一致:对于任何可接受的误差 ,只要 充分大, 对于任何 之间的'差别'小于 。 收敛的定义也就取决于'差别'的定义。 这些定义可能互相不等价,强弱有别。

下面介绍3种最常见的测度收敛的定义。

测度的总变差收敛

测度的强收敛

测度的弱收敛

数学统计学中, 弱收敛 (即为泛函分析中的 弱*收敛)是 测度论中广泛应用的一种收敛。 下面是几种测度弱收敛的等价定义。 这些等价定义被称为 portmanteau定理.[1]

定义   为拥有 Borel σ-代数  度量空间 。我们称一列(S, Σ)上的 概率测度   ,   弱收敛于概率测度   ,(记为

 

如果下面任何一条条件得到满足 (   为关于概率   的数学期望,  为关于概率   的数学期望):

  •   对于任何有界连续的函数  ,
  •   对于任何有界且满足 Lipschitz条件的函数   ,
  •   对于任何有上界的 上半连续 的函数   ,
  •   对于任何有下界的 下半连续 的函数   ,
  •   对于任何空间S中的闭集   ;
  •   对于任何空间S中的开集   ;
  •   对于任何关于概率P连续的集合  .

参考文献

  1. ^ Achim Klenke, Probability theory (2006) Springer-Verlag, ISBN 3-7643-2428-7. 
  2. Billingsley, Patrick. Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1995. ISBN 0-471-00710-2. 
  3. Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-19745-9.