沃瑟斯坦度量

对于一个度量空间${\displaystyle (M,d)}$ ，假设${\displaystyle M}$ 上每个博雷尔概率测度都是拉东测度（即该度量空间为拉东空间）。对有限${\displaystyle p\geq 1}$ ，${\displaystyle P_{p}(M)}$ 表示${\displaystyle M}$ 上所有有${\displaystyle p}$ 阶矩的概率测度${\displaystyle \mu }$ 的集合，即${\displaystyle M}$ 中存在${\displaystyle x_{0}}$ 满足

${\displaystyle \int _{M}d(x,x_{0})^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)<\infty .}$ 

于是，${\displaystyle P_{p}(M)}$ 中两个概率测度${\displaystyle \mu }$ 和${\displaystyle \nu }$ 之间的${\displaystyle p}$ 阶沃瑟斯坦距离可定义为

${\displaystyle W_{p}(\mu ,\nu ):=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\int _{M\times M}d(x,y)^{p}\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p},}$ 

其中${\displaystyle \Gamma (\mu ,\nu )}$ 表示${\displaystyle M\times M}$ 上所有测度的集合，即${\displaystyle \mu }$ 与${\displaystyle \nu }$ 的所有耦合（英语：Coupling (probability)）组成的集合。

此外，沃瑟斯坦度量也可等效地定义为

${\displaystyle W_{p}(\mu ,\nu )=\left(\inf \operatorname {\mathbf {E} } {\big [}d(X,Y)^{p}{\big ]}\right)^{1/p},}$ 

其中${\displaystyle \mathbf {E} [Z]}$ 表示随机变量${\displaystyle Z}$ 的期望值，下确界则由随机变量${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 的所有联合分布确定，它们分别对应边缘分布${\displaystyle \mu }$ 和${\displaystyle \nu }$ 。

理解上述定义的一种方法是将其与最优运输问题联系起来。对于空间${\displaystyle X}$ 上的某一质量分布${\displaystyle \mu (x)}$ ，我们希望以某种方式运输其质量，使其转化同一个空间中的另一分布${\displaystyle \nu (x)}$ ，即将“土堆”${\displaystyle \mu }$ 转换为“土堆”${\displaystyle \nu }$ 。两者的总质量必须相同，因而可以不失一般性地假设${\displaystyle \mu }$ 和${\displaystyle \nu }$ 是总质量为1的概率分布。此外还需假设代价函数

${\displaystyle c(x,y)\mapsto [0,\infty ),}$ 

表示从点${\displaystyle x}$ 运输质量到点${\displaystyle y}$ 的代价。一个从${\displaystyle \mu }$ 到${\displaystyle \nu }$ 的运输方案可以用函数${\displaystyle \gamma (x,y)}$ 来描述，该函数表明从${\displaystyle x}$ 移动到${\displaystyle y}$ 的质量。一个运输方案${\displaystyle \gamma (x,y)}$ 必须满足以下性质

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \gamma (x,y)\,\mathrm {d} y=\mu (x),\\\int \gamma (x,y)\,\mathrm {d} x=\nu (y),\end{aligned}}}$ 

前者表示从某一点${\displaystyle x}$ 移到其他所有点的土堆总质量必须等于最初该点${\displaystyle x}$ 上的土堆质量，后者则表示从所有点移到某一点${\displaystyle y}$ 的土堆总质量必须等于最终该点${\displaystyle y}$ 上的土堆质量。

这一性质相当于要求${\displaystyle \gamma }$ 是边缘分布${\displaystyle \mu }$ 与${\displaystyle \nu }$ 对应的联合概率分布。于是可得到运输方案${\displaystyle \gamma }$ 的总代价

${\displaystyle \iint c(x,y)\gamma (x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int c(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y).}$ 

方案${\displaystyle \gamma }$ 并不是唯一的，所有可能的运输方案中代价最低的方案即为最优运输方案。最优运输方案的代价为

${\displaystyle C=\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\int c(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y).}$ 

如果两点之间移动的代价等于两点之间的距离，那么最小代价则与${\displaystyle W_{1}}$ 距离等价。