赫尔德条件

数学上，称${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上的实值函数${\displaystyle f}$适合赫尔德条件，或称赫尔德连续，当存在非负常数${\displaystyle C}$，${\displaystyle \alpha }$，使得${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$,

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }.}$

这条件可以推广至任何两个度量空间之间的函数。${\displaystyle \alpha }$称为赫尔德条件的指数。如果${\displaystyle \alpha =1}$，则函数适合利普希茨条件。如果${\displaystyle \alpha =0}$，则函数不过是有界的。

由适合某个赫尔德条件的函数组成的赫尔德空间，在泛函分析有关解偏微分方程的领域有基本地位。记${\displaystyle \Omega }$为某个欧几里得空间的开集，赫尔德空间${\displaystyle C^{n,\alpha }(\Omega )}$所包含的函数，是直到n阶微分都适合指数${\displaystyle \alpha }$的赫尔德条件。这是拓扑向量空间，可以定义半范数：

${\displaystyle |f|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}},}$

对${\displaystyle n\geq 0}$，下式给出范数：

${\displaystyle \|f\|_{C^{n,\alpha }}=\|f\|_{C^{n}}+\max _{|\beta |=n}|D^{\beta }f|_{C^{0,\alpha }}}$

其中${\displaystyle \beta }$涵盖所有多重指标，而

${\displaystyle \|f\|_{C^{n}}=\max _{|\beta |\leq n}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }f(x)|}$