扩展实数线

扩展实数线又称广义实数（英语：extended real number），由实数线 $\mathbb {R}$ 加上 $+\infty$ 和 $-\infty$ 得到（注意 $+\infty$ 和 $-\infty$ 并不是实数），写作 ${\overline {\mathbb {R} }}$ 、 $[-\infty, +\infty]$ 或 $ℝ \cup {-\infty, +\infty}$ 。在不会混淆时，符号 $+\infty$ 常简写成 $\infty$ 。扩展的实数线在研究数学分析，特别是积分时非常有用。

扩展

对任意实数 $a$ ，定义 $-\infty <a<+\infty$ ，扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质，就是其所有子集都有上确界和下确界：这是一个完备格。全序关系在 ${\overline {\mathbb {R} }}$ 上引入了拓扑。在这个拓扑中，集合 $U$ 是 $+\infty$ 的邻域，当且仅当它包含集合 $\left\{x:x>a\right\}$ ，这里 $a$ 是某个实数。 $-\infty$ 的邻域类似。 ${\overline {\mathbb {R} }}$ 是个紧致的豪斯多夫空间，与单位区间 $\left[0,1\right]$ 同胚。

$\mathbb {R}$ 上的算术运算可以部分地扩展到 ${\overline {\mathbb {R} }}$ ，如下：

{\begin{array}{l}a+\infty =+\infty +a=+\infty &a\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a=-\infty &a\neq +\infty \\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right]\\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\mp \infty &a\in \left[-\infty ,0\right)\\{\dfrac {a}{\pm \infty }}=0&a\in \mathbb {R} \\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right)\\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\mp \infty &a\in \left(-\infty ,0\right)\end{array}}

通常不定义 $\infty -\infty ,0\cdot \left(\pm \infty \right),{\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}$ , ${\frac {a}{0}}$ 。同时 ${\frac {1}{0}}$ 也不定义为 $+\infty$ （因为这样忽视了 $-\infty$ ），这些规则是根据无穷极限的性质确定的。

注意在这些定义下， ${\overline {\mathbb {R} }}$ 不是域，也不是环。

性质

经过上述定义，扩展的实数轴仍有很多实数的性质：

$a+\left(b+c\right)$ 和 $\left(a+b\right)+c$ 相等或同时没有定义。
$a+b$ 和 $b+a$ 相等或同时没有定义。
$a\cdot \left(b\cdot c\right)$ 和 $\left(a\cdot b\right)\cdot c$ 相等或同时没有定义。
$a\cdot b$ 和 $b\cdot a$ 相等或同时没有定义。
$a\cdot \left(b+c\right)$ 和 $\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)$ 若都有定义则相等。
若 $a\leq b$ 且 $a+c$ 和 $b+c$ 都有定义，则 $a+c\leq b+c$ 。
若 $a\leq b$ 且 $c>0$ 且 $a\cdot c$ 和 $b\cdot c$ 都有定义，则 $a\cdot c\leq b\cdot c$ 。

通常只要表达式都有定义，所有算术性质在 ${\overline {\mathbb {R} }}$ 上都成立。

使用极限，一些函数可以自然地扩展到 ${\overline {\mathbb {R} }}$ 。例如可以定义 ${\rm {{e}^{-\infty }=0,{\rm {{e}^{+\infty }=+\infty ,\ln {0}=-\infty ,\ln {\left(+\infty \right)}=+\infty }}}}$ 等。

参见

扩展的复平面