素数倒数幻方

素数倒数幻方（prime reciprocal magic square）是指用素数倒数及其倍数的循环小数各位数组成的幻方。有些素数的倒数则可以形成对角线和也满足条件的幻方。

考虑在十进制下的1/7，其小数为循环小数1/7 = 0·142857142857142857...，若再考虑其倍数，会看到这六个数字的循环排列（英语：cyclic permutation）：

1/7 = 0·1 4 2 8 5 7...
2/7 = 0·2 8 5 7 1 4...
3/7 = 0·4 2 8 5 7 1...
4/7 = 0·5 7 1 4 2 8...
5/7 = 0·7 1 4 2 8 5...
6/7 = 0·8 5 7 1 4 2...

若用上述数字形成方阵，每一列的和是1+4+2+8+5+7，即为27，每一行的和也是27，若不考虑对角线，因此可以形成一个幻方：

1 4 2 8 5 7
2 8 5 7 1 4
4 2 8 5 7 1
5 7 1 4 2 8
7 1 4 2 8 5
8 5 7 1 4 2

不过其对角线不是27。

考虑1/19的倍数，下一行是上一行的二倍，而小数位数似乎右移一位：

01/19 = 0.052631578,947368421
02/19 = 0.1052631578,94736842
04/19 = 0.21052631578,9473684
08/19 = 0.421052631578,947368
16/19 = 0.8421052631578,94736

分子乘以2会让小数的位数右移一位：

在1/19形成的方阵中，其最大周期为18，每一行及每一列的和是81，而且对角线也是81，完全符合幻方的条件：

01/19 = 0·0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1...
02/19 = 0·1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2...
03/19 = 0·1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3...
04/19 = 0·2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4...
05/19 = 0·2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5...
06/19 = 0·3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6...
07/19 = 0·3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7...
08/19 = 0·4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8...
09/19 = 0·4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9...
10/19 = 0·5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0...
11/19 = 0·5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1...
12/19 = 0·6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2...
13/19 = 0·6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3...
14/19 = 0·7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4...
15/19 = 0·7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5...
16/19 = 0·8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6...
17/19 = 0·8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7...
18/19 = 0·9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8...

在各素数在不同进制下，也可能会有相同的现象，以下是列表，列出素数、进制以及幻方和　（(进制-1) 乘 (素数-1) / 2：