时滞斐波那契生成器

时滞斐波那契生成器(Lagged Fibonacci generator,LFG或LFib),是一类伪随机数生成器。用于改进标准的线性同余生成器

递推关系表示序列的生成:

其中,新项由两个老项计算生成。m通常是2的幂 (m = 2M), 经常232或264。其中 算符表示一般的二元运算符,这可以是加法、减法、乘法或者位运算异或。相应地称作加法时滞斐波那契生成器(ALFG)、乘法时滞斐波那契生成器(MLFG)、 双抽头广义反馈移位寄存器(GFSR)。梅森旋转算法是GFSR的变种。GFSR与线性反馈移位寄存器有关。

使用k个状态字的生成器,称作'记住'了过去k个值。

时滞斐波那契生成器的理论相当复杂,理论也不够充分到能指导如何选择jk。生成器的初始化也非常敏感。

性值

时滞斐波那契生成器对于加减法运算,有最大周期(2k - 1)*2M-1;对异或运算有最大周期(2k − 1) × k;对乘法运算的最大周期为(2k − 1) × 2M−3, 即加法运算最大周期的1/4.

为了达到最大周期,多项式:

y = xk + xj + 1

必须是{{tsl|en|primitive polynomial (field theory)|本原多项式]],对于mod 2的整数. 满足这样的约束的j与k,已经在文献中公布,常用的有:

{j = 7, k = 10}, {j = 5, k = 17}, {j = 24, k = 55}, {j = 65, k = 71}, {j = 128, k = 159} [1], {j = 6, k = 31}, {j = 31, k = 63}, {j = 97, k = 127}, {j = 353, k = 521}, {j = 168, k = 521}, {j = 334, k = 607}, {j = 273, k = 607}, {j = 418, k = 1279} [2]页面存档备份,存于互联网档案馆

另一套jk的可能值在《计算机程序设计艺术》第2卷第29页公布:

(24, 55), (38, 89), (37, 100), (30, 127), (83, 258), (107, 378), (273, 607), (1029, 2281), (576, 3217), (4187, 9689), (7083, 19937), (9739, 23209)

注意到上述数越小,周期就越短。

如果使用加法,要求前k个初始化生成器的值中至少一个是奇数。如果使用乘法,要求前k个值都必须是奇数.[1]

有研究建议jk最好近似黄金比例.[2]

时滞斐波那契生成器的问题

Robert M. Ziff在四抽头移位寄存器的论文中指出“众所周知这种生成器,特别是双抽头的 R(103, 250),有严重的缺陷。{{tsl en|George Marsaglia}}发现R(24, 55)与更小的生成器的作为相当差,并建议不要用这类生成器。 ... 双抽头生成器R(a, b)的基础问题是给定了生成器,则有内在的三点相关: ,  ,  。这种相关性在 尺度上传播,显然导致了问题。”[3]这是指标准的时滞斐波那契生成器,每个新数依赖于以前的2个老数。三抽头的时滞斐波那契生成器去除了很多统计问题,如在Birthday Spacings英语Diehard tests与Generalized Triple测试失败问题.[2]

时滞斐波那契生成器的初始化是个非常复杂的问题。时滞斐波那契生成器的输出对其初始化条件非常敏感。时滞斐波那契生成器的数学理论是不完备的,使它依赖于统计测试而不是理论分析。

使用

  • Freeciv游戏使用时滞斐波那契生成器{j = 24, k = 55}。
  • Boost C++ Libraries实现了时滞斐波那契生成器。
  • Subtract with carry是时滞斐波那契生成器的一种实现,包含在C++11标准模板库中。
  • Oracle数据库在DBMS_RANDOM包中实现了时滞斐波那契生成器。

参考文献

Toward a universal random number generator, G.Marsaglia, A.Zaman
  1. ^ Parameterizing Parallel Multiplicative Lagged-Fibonacci Generators页面存档备份,存于互联网档案馆), M.Mascagni, A.Srinivasan
  2. ^ 2.0 2.1 "Uniform random number generators for supercomputers"页面存档备份,存于互联网档案馆), Richard Brent, 1992
  3. ^ "Four-tap shift-register-sequence random-number generators"页面存档备份,存于互联网档案馆), Robert M. Ziff, Computers in Physics, 12(4), Jul/Aug 1998, pp. 385–392