卡比演算

在数学上,卡比演算是一个在几何拓扑学中用三维球面上有限多的形变步骤(卡比形变,英语:kirby moves)的集合使框连接英语framed link产生形变的方法。它以罗比恩·卡比之名命名。罗比恩·卡比证明了若M与N皆为三维流形 ,且它们分别是从L和J这两个框连结上进行Dehn手术英语Dehn surgery所得的,则它们是同胚的,当且仅当L和J借由一连串的卡比形变产生关联。根据Lickorish-Wallace定理英语Lickorish-Wallace theorem,任意闭合可定向的三维流形皆可由对三维球面里的某些连结进行Dehn手术得到。

一个扩张的图像和形变集合被用以描述四维流形。一个在三维球体中的框连结暗示著二维手柄对四维球的依附(此流形的三维边界是上述连结图的三维流形描述)。一维手柄可由两个三维球(一维手柄的依附区)或(更常见地)有着点的非纽结化圆表示。这个点表示著一个标准有界的二维圆盘的邻域,也就是有着点的圆,会被从四维球的内部切除。切除这个二维手柄相当于加上一个一维手柄。三维和四维的手柄通常不会在图中指示出来。

手柄解构

  • 一个闭合平滑的四维流形M通常会用手柄结构英语handle decomposition描述。
  • 一个零维手柄就是一个球,而其依附映射英语attaching map是不交并的。
  • 一个一维手柄是沿着两个不相交的三维依附的。
  • 一个二维手柄是沿着一个立体环面英语solid torus依附的。由于这个固体环嵌于一个三维流形中,四维流形上的手柄解构和三维流形上的纽结理论之间有关系。
  • 一对指数相差1的手柄,当其中心以一个足够简单的方法连结时,它们可以消除而不会改变下面的流形。同样,这些对可以创造。

在一个平滑四维流形中,两个不同平滑手柄体(handlebody)的解构跟依附映射的同痕有限序列,以及手柄对的创造和消除(creation/cancellation)有关联。


参见

参考文献

  • Rob Kirby, "A Calculus for Framed Links in S3".  Inventiones Mathematicae, vol. 45, 1978, pgs. 35-56.
  • Robert Gompf and Andras Stipsicz, 4-Manifolds and Kirby Calculus, (1999) (Volume 20 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-0994-6